Άλλη καμπύλη

KARKAR · #1

: Άλλη καμπύλη.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, κινείται σημείο

. Στην προέκταση της χορδής

,

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : ST=r

. Αν δεν μπορέσουμε να βρούμε τον γεωμετρικό

τόπο του

, ας βρούμε τουλάχιστον την "ψηλότερη" θέση του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 11:46 am
Άλλη καμπύλη.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο . Στην προέκταση της χορδής ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Αν δεν μπορέσουμε να βρούμε τον γεωμετρικό

τόπο του , ας βρούμε τουλάχιστον την "ψηλότερη" θέση του .

.
Πρόκειται για πάρα πολλή κοινή καμπύλη, που ανήκει στην οικογένεια των καρδιοειδών. Μπορεί να την βρει κανείς σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία με καμπύλες, και επίσης σε όλες τις Αναλυτικές Γεωμετρίες που έχουν κεφάλαιο σχετικά με πολικές συντεταγμένες.

Μια πρώτη ματιά εδώ

(στην εικόνα της παραπομπής είναι επέκταση κατά

, αλλά γενικά είναι κατά

)

Υπόψη ότι την συναντά κανείς και στα σχολικά βιβλία, ιδίως στις Γεωμετρίες, τουλάχιστον στα ιστορικά σημειώματα. Συγκεκριμένα η εν λόγω καμπύλη χρησιμοποιείται στην στάνταρ τριχοτόμηση γωνίας με την μέθοδο του Αρχιμήδη.
Άλλη ονομασία της καμπύλης είναι "κογχοειδής του κύκλου".

Η παραπάνω άσκηση, υπό το πρίσμα της καρδιοειδούς. είναι τώρα άμεση και κοινή.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 11:46 am
Άλλη καμπύλη.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο . Στην προέκταση της χορδής ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Αν δεν μπορέσουμε να βρούμε τον γεωμετρικό

τόπο του , ας βρούμε τουλάχιστον την "ψηλότερη" θέση του .

Για την "ψηλότερη" θέση. Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι:

: Άλλη καμπύλη.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές

$\displaystyle \frac{{SD}}{h} = \frac{{BS}}{{BS + r}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x(2r - x)} }}{h} = \frac{{\sqrt {2rx} }}{{r + \sqrt {2rx} }} \Leftrightarrow h = \frac{{(r + \sqrt {2rx} )\sqrt {x(2r - x)} }}{{\sqrt {2rx} }},$

όπου με τη βοήθεια παραγώγων και λογισμικού, παίρνω $\boxed{h_{max}\simeq 1,7602r}$ όταν $\boxed{x\simeq 0,70346r}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 11:46 am
Στο ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο . Στην προέκταση της χορδής ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Αν δεν μπορέσουμε να βρούμε τον γεωμετρικό

τόπο του , ας βρούμε τουλάχιστον την "ψηλότερη" θέση του .

.

: Άλλη καμπύλη.png (15.85 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές

.
Αυτό που είχα κατά νου είναι το εξής (μόνο που σχεδιάζω το συμμετρικό του σχήματος και αλλάζω τα γράμματα, για να είναι πιο κοντά σε σύμβολα της Αναλυτικής Γεωμετρίας)

Με πολικές συντεταγμένες, εδώ $r=OT=OS+ST= 2a\cos \theta +a$ έχουμε αμέσως $\boxed {r=a(2cos \theta +1)}$ . Αν θέλουμε την Καρτεσιανή του εξίσωση έχουμε από την προηγούμενη, ως συνήθως,

$\sqrt {x^2+y^2}=a\left ( \dfrac {2x}{\sqrt {x^2+y^2}}+1\right )$ . Μετά τις αναγωγές είναι $\boxed { (x^2+y^2-2ax)^2=(x^2+y^2)a^2}$

Aν θέλουμε το μέγιστο του ύψους

του

, έχουμε $h=OT \sin \theta = a(2cos \theta +1)\sin \theta$ . Με παραγώγιση ή τριγωνομετρικά βρίσκουμε ότι το μέγιστο συμβαίνει όταν $4\cos ^2\theta +\cos \theta -2=0$ δηλαδή

$\boxed {\cos \theta = \dfrac {1}{8}(-1+\sqrt {33})}$ .

Από αυτό μπορούμε βέβαια να βρούμε την μέγιστη τιμή $h_{max}$ (το αφήνω ως ρουτίνα με πολλές πράξεις), αλλά με λογισμικό βρήκα $h_{max}\approx 1,7602a$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 11:46 am
Άλλη καμπύλη.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο . Στην προέκταση της χορδής ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Αν δεν μπορέσουμε να βρούμε τον γεωμετρικό

τόπο του , ας βρούμε τουλάχιστον την "ψηλότερη" θέση του .

Εν συντομία, για το γεωμετρικό τόπο. Θέτω $A(-r,0), B(r,0), S(s, \sqrt{r^2-s^2}), T(x,y).$

: Άλλη καμπύλη.2.png (14.62 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle B{T^2} = {(BS + r)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2rx = 2{r^2} - 2rs + 2r\sqrt {2{r^2} - 2rs}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {\lambda _{BT}} = {\lambda _{BS}} \Leftrightarrow \frac{y}{{r - x}} = \sqrt {\frac{{r + s}}{{r - s}}} \Leftrightarrow s = r\frac{{{y^2} + {{(x - r)}^2}}}{{{y^2} + {{(x - r)}^2}}}$ και με αντικατάσταση παίρνω την εξίσωση

του γεωμετρικού τόπου, $\boxed{{x^2} + {y^2} - 2rx = 4{r^2}\left( {\frac{{{{(x - r)}^2}}}{{{y^2} + {{(x - r)}^2}}} + \sqrt {\frac{{{{(x - r)}^2}}}{{{y^2} + {{(x - r)}^2}}}} } \right)}$

Είναι $-2r\le x\le r,$ οπότε στο σχήμα ο γ.τ περιορίζεται στην κόκκινη καμπύλη. Τα άκρα της καμπύλης είναι σημεία του γεωμετρικού τόπου.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 11:46 am
Στο ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο . Στην προέκταση της χορδής ,

θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : . Αν δεν μπορέσουμε να βρούμε τον γεωμετρικό

τόπο του , ας βρούμε τουλάχιστον την "ψηλότερη" θέση του .

Καλησπέρα...

Θέλοντας να είμαι πιστός στο σχήμα του Θαναση θα παρουσιάσω ένα σχήμα με ολοκληρωμένη την καμπύλη αυτή

την οποία μελέτησαν σωστά οι: Μιχάλης και Γιώργος..

: Άλλη καμπύλη 1png.png (55.81 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές

Η καμπύλη αυτή ανήκει στην κατηγορία των "καρδιοειδών" και συγκεκριμένα λέγεται κογχοειδής του Πασκάλ.

Η παραμετρική μορφή της μορφή είναι:

$\displaystyle{x(t)=r-r(1+2cost)cost, \ \ y(t)=r(1+2cost)sint, \ \ t\in[0,2\pi]}$

Επιλέχθηκε αυτή η μορφή θεωρώντας το σύστημα αναφοράς με κέντρο το κέντρο του κύκλου

και άξονα των τετμημένων τη διάμετρο $\displaystyle{AOB}$

Όπως θα δείτε και στο δυναμικό σχήμα, η καμπύλη αυτή είναι η ένωση των τροχιών που

διαγράφονται από τα σημεία $\displaystyle{T,L}$ με την ιδιότητα που όρισε αρχικά ο Θανάσης.

Δηλαδή:

$\displaystyle{(ST)=(SL)=(OA)=r}$

Θα μπορούσαμε να πάρουμε ένα σωρό ενδιφέρουσες περιπτώσεις αν θεωρήσουμε κάποια

άλλη σχέση των σημείων αυτών.

Δυναμικό σχήμα: https://www.geogebra.org/m/zv54uqsm

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Να με συμπαθάτε για το μέγεθος του σχήματος αλλά με τον καινούργιο υπολογιστή και από

εδώ που βρίσκομαι δεν μπορώ να το ξεπεράσω. Αν μπορεί κάποιος να με βοηθήσει ας μου στείλει

ένα μήνυμα. Θα το χαρώ...

Άλλη καμπύλη

Άλλη καμπύλη

Re: Άλλη καμπύλη

Re: Άλλη καμπύλη

Re: Άλλη καμπύλη

Re: Άλλη καμπύλη

Re: Άλλη καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση