Μεικτόγραμμο χωρίο

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δύο κύκλοι $\left( K,R \right)$ και $\left( L,r \right)$ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο

Aν

είναι η κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους, να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτογράμμου τριγώνου OPS

συναρτήσει των R,r.

Kαθώς επεξεργαζόμουν ένα άλλο πρόβλημα, προέκυψε το παραπάνω...
Θέλω το εμβαδόν να δίνεται από κλειστό τύπο.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 30, 2025 9:22 pm
Δύο κύκλοι $\left( K,R \right)$ και $\left( L,r \right)$ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο
Aν είναι η κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους, να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτογράμμου τριγώνου συναρτήσει των

.

: μεικτόγραμμο.png (34.33 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές

.

Φέρνουμε $TS \parallel KL$ , οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο PST

έχουμε

Λόγω παραλληλίας των KP, LS

έχουμε $2\theta + 2 \phi = 180$ , άρα $\theta + \phi =90$ . Επίσης, από χρδή και εφαπτομένη είναι $\widehat {OPS}= \theta, \, \widehat {OSP}= \phi$ και άρα $\widehat {POS}=90$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο POS

έχουμε

$4Rr=PS^2=PO^2+SO^2= (2R\sin \theta)^2 +(2r\sin \phi)^2=4R^2 \sin ^2 \theta +4r^2 \cos ^2 \theta=$

$= 2R^2\sin ^2\theta +4r^2 (1-\sin ^2 \theta)$

Άρα $\sin ^2 \theta = \dfrac {r}{R+r}$ και όμοια $\sin ^2 \phi = \dfrac {r}{R+r}$ .

Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με

$trapezio (KLSP)- tomeas(K, \overset {\frown}{OP} )- tomeas(L, \overset {\frown}{OS} )= \dfrac{1}{2} (R+r)\cdot 2\sqrt {Rr} - \dfrac{1}{2} R^2 \cdot 2\theta -\dfrac{1}{2} r^2 \cdot 2\phi$

δηλαδή

$\boxed {E= (R+r)\sqrt {Rr} - R^2 \arcsin \sqrt { \dfrac {r}{R+r}} -r^2 \arcsin \sqrt { \dfrac {R}{R+r}} }$

Μεικτόγραμμο χωρίο

Μεικτόγραμμο χωρίο

Re: Μεικτόγραμμο χωρίο

Μέλη σε σύνδεση