Αναλογικό μέγιστο

KARKAR · #1

: Αναλογικό μέγιστο.png (53.68 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Σε κύκλο να εγγραφεί τρίγωνο μεγίστου εμβαδού , στο οποίο για τις πλευρές b , c

, να ισχύει : $\dfrac{b}{c}=\dfrac{3}{2}$ .

#2

Ας το δούμε γενικότερα, την περίπτωση c=rb

δηλαδή:

Από Νόμο Συνημιτόνων στο ABC

προκύπτει η $a^2=(1+r^2)b^2-2rb^2cos\theta ,$ όπου $\theta =A.$ Επίσης από Νόμο Συνημιτόνων, στο OBC

αυτήν την φορά, προκύπτει η $a^2=2-2cos2\theta =4sin^2\theta .$ Συνδυάζοντας προκύπτει άμεσα η $b^2=\dfrac{4sin^2\theta }{1-2rcos\theta +r^2}.$

Για το εμβαδόν ισχύει η $E=\dfrac{bcsin\theta }{2}=\dfrac{rb^2sin\theta }{2}$ , οπότε από τα προηγούμενα λαμβάνουμε $E(\theta )=\dfrac{2rsin^3\theta }{1-2rcos\theta +r^2}$ και $E'(\theta )=\dfrac{-2rsin^2\theta (2r-3(1+r^2)cos\theta +4rcos^2\theta)}{(1-2rcos\theta +r^2)^2}.$

Ο μηδενισμός της παραγώγου οδηγεί στην δευτεροβάθμια $4rcos^2\theta -3(1+r^2)cos\theta +2r=0$ και στην γωνία μεγίστου εμβαδού

$arccos\left[\dfrac{3(1+r^2)-\sqrt{9-14r^2+9r^4}}{8r}\right].$

[Επιλέγουμε την μικρότερη ρίζα της δευτεροβάθμιας λόγω της $3(1+r^2)+\sqrt{9-14r^2+9r^4}>8r$ για $r\neq 1.$ (Για δε r=1

η μεγαλύτερη ρίζα δίνει $\theta =0!$ )

#3

gbaloglou έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 24, 2025 3:20 pm
Ας το δούμε γενικότερα, την περίπτωση δηλαδή:

Από Νόμο Συνημιτόνων στο προκύπτει η $a^2=(1+r^2)b^2-2rb^2cos\theta ,$ όπου $\theta =A.$ Επίσης από Νόμο Συνημιτόνων, στο αυτήν την φορά, προκύπτει η $a^2=2-2cos2\theta =4sin^2\theta .$ Συνδυάζοντας προκύπτει άμεσα η $b^2=\dfrac{4sin^2\theta }{1-2rcos\theta +r^2}.$

Για το εμβαδόν ισχύει η $E=\dfrac{bcsin\theta }{2}=\dfrac{rb^2sin\theta }{2}$ , οπότε από τα προηγούμενα λαμβάνουμε $E(\theta )=\dfrac{2rsin^3\theta }{1-2rcos\theta +r^2}$ και $E'(\theta )=\dfrac{-2rsin^2\theta (2r-3(1+r^2)cos\theta +4rcos^2\theta)}{(1-2rcos\theta +r^2)^2}.$

Ο μηδενισμός της παραγώγου οδηγεί στην δευτεροβάθμια $4rcos^2\theta -3(1+r^2)cos\theta +2r=0$ και στην γωνία μεγίστου εμβαδού

$arccos\left[\dfrac{3(1+r^2)-\sqrt{9-14r^2+9r^4}}{8r}\right].$

[Επιλέγουμε την μικρότερη ρίζα της δευτεροβάθμιας λόγω της $3(1+r^2)+\sqrt{9-14r^2+9r^4}>8r$ για $r\neq 1.$ (Για δε η μεγαλύτερη ρίζα δίνει $\theta =0!$ )

Μπορούμε βέβαια, αν έχουμε το κουράγιο, να εκφράσουμε το μέγιστο εμβαδόν τριγώνου εγγεγραμμένου στον μοναδιαίο κύκλο ως συνάρτηση του λόγου δύο πλευρών r=c/b:

$E(r)=\dfrac{\left(30r^2-9(1+r^4)+3(1+r^2)\sqrt{9-14r^2+9r^4}\right)^{3/2}}{64\sqrt{2}r^2\left(1-\dfrac{\left(9(1+r^4)+2r^2-3(1+r^2)\sqrt{9-14r^2+9r^4}\right)^{1/2}}{\sqrt{8}}+r^2\right)}$

Για r=1

(ισοσκελές τρίγωνο) προκύπτει πράγματι μέγιστο εμβαδόν $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1,3$ (ισόπλευρο τρίγωνο).

Για το παράδειγμα του Θανάση λαμβάνουμε $E(3/2)=E(2/3)\approx 1,12689$ (για $\theta \approx 65,65^0).$

Γράφημα του μέγιστου εμβαδού E(r)

για

(με μέγιστο αναμενόμενα για r=1

), χωρίς δυστυχώς να δείχνει την E(r)=E(1/r)

... λόγω μη ισότητας μονάδων στους δύο άξονες:

: μέγιστο-εμβαδόν-εγγεγραμμένου-με-λόγο-πλευρών-r.png (38.17 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

Αναλογικό μέγιστο

Αναλογικό μέγιστο

Re: Αναλογικό μέγιστο

Re: Αναλογικό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση