Τομή κυλίνδρου από επίπεδο

#1

Με αφορμή την σχετική συζήτηση εδώ, προτείνω:

Να δειχθεί ότι η τομή κυλίνδρου από επίπεδο είναι έλλειψη.

[Γνωστό βέβαια το αποτέλεσμα, δεκτή κάθε λύση ή έστω αναφορά.]

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 16, 2025 3:51 pm
Να δειχθεί ότι η τομή κυλίνδρου από επίπεδο είναι έλλειψη.

[Γνωστό βέβαια το αποτέλεσμα, δεκτή κάθε λύση ή έστω αναφορά.]

: κυλινδρική τομή.png (31.81 KiB) Προβλήθηκε 1192 φορές

,
To αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στον Σερήνο τον Αντιονέα (300-360 μ.Χ.) στο σωζόμενο έργο του Κυλινδρικές τομές. Βλέπε εδώ.

H πιο κομψή απόδειξη οφείλεται στον Γάλλο Μαθηματικό Germinal Dandelin (1794-1847). Βλέπε εδώ. Είναι η εξής:

Θεωρούμε δύο σφαίρες στο εσωτερικό του κυλίνδρου που εφάπτονται σε αυτόν και επίσης εφάπτονται στο επίπεδο που τέμνει τον κύλινδρο. Έστω ότι τα σημεία επεφής με το επίπεδο είναι τα E,F

. Θα αποδείξουμε ότι τα E,F

είναι οι εστίες της έλλειψης.

Έστω

τυχαίο σημείο της καμπύλης, την οποία θέλουμε να αποδείξουμε ότι είναι έλλειφη. Φέρνουμε την γενέτειρα

του κυλίνδρου, η οποία διέρχεται από το

.

Χρησιμοποιούμε τώρα την ιδιότητα της σφαίρας ότι αν από ένα σημείο έξω από αυτήν φέρουμε εφαπτόμενες στην σφαίρα, τότε είναι ίσες μεταξύ τους (όπως σημβαίνει στο επίπεδο, με τον κύκλο: Η μόνη διαφορά είναι ότι στο κύκλο είναι μόνο δύο οι εφαπτόμενες, αλλά στην σφαίρα είναι άπειρες). Συνεπώς έχουμε MF=MA

και επίσης ME=MB

.

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε (εδώ είναι τα μάγια) MF+ME=MA+MB=AB=

σταθερό. Δηλαδή δείξαμε ότι το MF+ME

είναι σταθερό, που σημαίνει ότι η καμπύλη είναι εξ ορισμού έλλειψη, με εστίες τα $E,\,F$ .

#3

Ας το δούμε και ... με άσφαιρη αναλυτική:

Έστω -- χωρίς βλάβη της γενικότητας -- ότι ο κύλινδρος y^2+z^2=1

τέμνεται από το επίπεδο z=kx, k>0.

Αναζητούμε συμμετρικές αλλήλων εστίες επί του επιπέδου αυτού, της μορφής (h, 0, kh)

και

Θέλουμε το άθροισμα των αποστάσεων τυχόντος σημείου $(x, cos\theta , \sin\theta )=(x, cos\theta , kx)=(x, \sqrt{1-k^2x^2}, kx)$ της τομής από τις δύο 'υποψήφιες' εστίες να είναι σταθερό, να είναι δηλαδή σταθερή η ως προς

συνάρτηση

$\sqrt{(h-x)^2+(1-k^2x^2)+k^2(x-h)^2}+\sqrt{(h+x)^2+(1-k^2x^2)+k^2(x+h)^2}=$

$=\sqrt{x^2-2(1+k^2)hx+(1+k^2)h^2+1}+\sqrt{x^2+2(1+k^2)hx+(1+k^2)h^2+1}.$

Ο μόνος τρόπος που θα μπορούσε να επιτευχθεί μια τέτοια σταθερότητα είναι να ισχύει για κάποιο

και κάθε

η

$x^2\pm 2(1+k^2)hx+(1+k^2)h^2+1=(a\pm x)^2,$

να ισχύουν δηλαδή ταυτόχρονα οι ισότητες

(1+k^2)h=a

και

εύκολα διαπιστώνουμε, απαλείφοντας το

ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνον αν ισχύει η $h^2=\dfrac{1}{k^2(1+k^2)}.$

Επιστρέφοντας τώρα στο $a=\dfrac{\sqrt{1+k^2}}{k},$ έχουμε την πλήρη εικόνα:

$\sqrt{(h-x)^2+(1-k^2x^2)+k^2(x-h)^2}+\sqrt{(h+x)^2+(1-k^2x^2)+k^2(x+h)^2}=2a=\dfrac{2\sqrt{1+k^2}}{k},$

έλλειψη με εστίες $\left(\dfrac{1}{k\sqrt{1+k^2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}\right)$ και $\left(-\dfrac{1}{k\sqrt{1+k^2}}, 0, -\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}\right).$

#4

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 16, 2025 3:51 pm
Με αφορμή την σχετική συζήτηση εδώ, προτείνω:

Να δειχθεί ότι η τομή κυλίνδρου από επίπεδο είναι έλλειψη.

[Γνωστό βέβαια το αποτέλεσμα, δεκτή κάθε λύση ή έστω αναφορά.]

Γιώργο και Μιχάλη καλημέρα...

Αναρτώ κάποια σχήματα και ένα δυναμικό σχετικά με την πρόταση του Dandelin.

Σχήμα 1ο

: Dandelin 1.png (56.94 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε έναν κύλινδρο και ένα επίπεδο το οποίο τέμνει αυτόν
κατά μία γωνία.

Σχήμα 2ο

: Dandelin 3.png (61.26 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε το εσωτερικό του κυλίνδρου όπου φαίνεται η τομή αυτού με
το επίπεδο(κόκκινη γραμμή) και δυο σφαίρες οι οποίες εφάπτονται στην κυλινδρική
επιφάνεια καθώς και στο επίπεδο τομής.

Τα σημεία $\displaystyle{E_1, E_2}$ είναι τα σημεία επαφής του επιπέδου με τις ανωτέρω σφαίρες.

Προφανώς ισχύει: $\displaystyle{ME_1=MA}$ και $\displaystyle{ME_2=MB}$ γιατί είναι εφαπτόμενες προς την
εκάστοτε σφαίρα.
Επομένως:

$\displaystyle{ME_1+ME_2=MA+MB=AB=ct \ \ (1)}$

Η σχέση (1) δείχνει ότι η τομή είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία $\displaystyle{E_1,E_2}$

Σχήμα 3

: Dandelin 2.png (19.35 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνονται καλύτερα οι ανωτέρω ιδέες του προηγουμένου
σχήματος 2.

Παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/x52866r6

Κώστας Δόρτσιος

Τομή κυλίνδρου από επίπεδο

Τομή κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Τομή κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Τομή κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Τομή κυλίνδρου από επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση