3ο Θεώρημα τριών μεσοκαθέτων

[KARKAR]

2ο Θεώρημα τριών μεσοκαθέτων.png (23.61 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Στις πλευρές σκαληνού τριγώνου , κινούνται σημεία , ώστε : .

α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος διέρχεται από σταθερό σημείο .

β) Οι μεσοκάθετοι των τέμνονται στο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .

γ) Αν , για ποιο μήκος του , οι δύο μεσοκάθετοι τέμνονται επί της ;

δ) Βρείτε την "σύνδεση" του γεωμετρικού τόπου του β) ερωτήματος με το σημείο και την διχοτόμο της .

Κάποια από τα ερωτήματα του θέματος τίθενται προς διερεύνηση . Πιθανόν μερικά να έχουν λυθεί , αλλά
έμεινα έκπληκτος από τις τόσες κανονικότητες και θέλω να σας καταστήσω συμμετόχους στο "δημιούργημα"

[rek2]

Αφού οι διαφορές είναι σταθερές οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων διέρχονται από σταθερό σημείο της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας . (γνωστό θεώρημα, έχει συζητηθεί εκτενώς το δίδυμό του θεώρημα με σταθερό άθροισμα). Πρόκειται για το το οποίο φανερά ισαπέχει από τα και και βρίσκεται στις μεσοκάθετες των και κ.λπ.

Ας είναι τα αντιδιαμετρικά του στους κύκλους αντίστοιχα.

Φορσέ τα είναι συνευθειακά με την ευθεία τους σταθερή, ως κάθετη στην .

Λόγω της παραλληλίας των και της μεσοκάθετης του , αυτή διέρχεται από το μέσo, έστω , του . Αλλά και λόγω της παραλληλίας των και της μεσοκάθετης του κι αυτή διέρχεται από το μέσο του . To δηλαδή συμπίπτει με τo , οπότε βρίσκεται στην σταθερή ευθεία των και όλα, εκτός του γ), απαντήθηκαν.

[S.E.Louridas]

2ο Θεώρημα τριών μεσοκαθέτων.pngΣτις πλευρές σκαληνού τριγώνου , κινούνται σημεία , ώστε : AB=7 , BC=8 , CA=9BDBCBD=16/5$

Γενίκευση Πυθαγορείου θεωρήματος, ομοιότητες τριγώνων , μια πρόσθεση και τελειώσαμε

[S.E.Louridas]

Στις πλευρές σκαληνού τριγώνου , κινούνται σημεία , ώστε : .
α) Δείξτε ότι η μεσοκάθετος του τμήματος διέρχεται από σταθερό σημείο .
β) Οι μεσοκάθετοι των τέμνονται στο . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του .
γ) Αν , για ποιο μήκος του , οι δύο μεσοκάθετοι τέμνονται επί της ;
δ) Βρείτε την "σύνδεση" του γεωμετρικού τόπου του β) ερωτήματος με το σημείο και την διχοτόμο της .

Ας ξεκινήσω την διαπραγμάτευση μου από το γ) ερώτημα.

Ερώτημα γ)

Αν θεωρήσουμε και «απαιτήσουμε» τότε εύκολα παίρνουμε:



Ερώτημα α)

Επειδή η είναι κινούμενη κατά τον συγκεκριμένο τρόπο, μία οριακή της θέση (δεχόμαστε την έννοια του μηδενικού ευθύγραμμου τμήματος)

είναι να «ταυτιστεί» με την Επομένως θα πρέπει να θεωρήσουμε την τομή των μεσοκαθέτων των

εδώ παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα επομένως, εκτός των άλλων, τα σημεία είναι ομοκυκλικά,

καθότι από την προηγούμενη ισότητα παίρνουμε:

άρα το σημείο είναι σταθερό ως σημείο τομής της μεσοκαθέτου του και του κύκλου

Ερώτημα β)

Καταρχάς θεωρούμε ως το σημείο τομής των καθέτων στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.

Στη συνέχεια ονομάζουμε τα μέσα των αντίστοιχα και σχηματίζουμε τα ορθογώνια οπότε το τρίγωνο

είναι ισοσκελές άρα

συνεπώς η ημιευθεία είναι σταθερή, και είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.


Ερώτημα δ)

Είναι καθαρό ότι ο γεωμετρικός τόπος διέρχεται από το σημείο και ορίζει ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας

σ.png (42.04 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Παρατήρηση:
Το θεώρημα που ανέφερε ο Κώστας στην πανέμορφη λύση του είναι το 2ο Θεώρημα του MacLaurin.