Τετραγωνισμός του κύκλου κατά μήκος και κατά εμβαδό

[Ιάσων Κωνσταντόπουλος]

Δίνεται κύκλος ακτίνας ίσης με τη μονάδα.

Να αποδειχθεί ότι:

η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισεμβαδικού με τον δοθέντα κύκλο είναι εφικτή
αν και μόνο αν
η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισοπεριμετρικού με τον δοθέντα κύκλο είναι εφικτή.

Σημείωση
Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων που θα μπορούσαν να δημιουργηθούν από την επιλεχθείσα διατύπωση του προβλήματος,
ξεκαθαρίζουμε κατηγορηματικά πως η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισεμβαδικού με δοθέντα κύκλο
έχει αποδειχθεί ότι είναι αδύνατη και αυτό δεν πρόκειται να αλλάξει στο μέλλον.
Παραφράζοντας το πασίγνωστο άσμα της Shirley Bassey, Theorems are Forever.

Υπό το φως αυτής της διευκρίνησης αυτό που εκφράζει η παραπάνω άσκηση είναι ότι
αμφότερες οι κατασκευές της εκφώνησης είναι αδύνατες με κανόνα και διαβήτη
και ότι η αιτία που είναι αδύνατες είναι κοινή.

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται κύκλος ακτίνας ίσης με τη μονάδα.

Να αποδειχθεί ότι:

η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισεμβαδικού με τον δοθέντα κύκλο είναι εφικτή
αν και μόνο αν
η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη τετραγώνου ισοπεριμετρικού με τον δοθέντα κύκλο είναι εφικτή.

Η ενδιαφέρουσα αυτή ισοδυναμία ήταν γνωστή στους αρχαίους Έλληνες. Συγκεκριμένα, ο Αρχιμήδης στο Κύκλου μέτρησις δείχνει ότι το εμβαδόν κύκλου ακτίνας είναι ίσο με το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η μία κάθετος είναι η ακτίνα του κύκλου και η άλλη όσο το μήκος της περιφερείας του ιδίου κύκλου.

Άρα αν τετραγωνίζεται ο κύκλος, κατασκευάζουμε με κανόνα και διαβήτη ένα ισεμβαδικό ορθογώνο τρίγωνο με μία κάθετο ίση με την ακτίνα (απλό). Τότε, από το παραπάνω, η άλλη κάθετος είναι ευθειοποίηση της ίδια περιφέρειας. 'Ομοια το αντίστροφο.

Προσθέτω ότι και ο τετραγωνισμός του κύκλου από τον Δεινόστρατο με χρήση της τετραγωνίζουσας του Ιππία, κάνει χρήση της παραπάνω ευθειοποίησης.
.

tetragonismos ison euthiopoiisi.png (3.24 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές