Παραμετρική έλλειψη

#1

Με αφορμή αυτό προτείνω κάτι που μάλλον είναι γνωστό:

Να δειχθεί ότι η $x=Acos\theta +Bsin\theta , y=Ccos\theta +Dsin\theta$ είναι έλλειψη όταν $AD-BC\neq 0.$

[Δεκτή και αναφορά στην βιβλιογραφία, δεν το έψαξα και πολύ.]

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 03, 2024 12:00 am
Με αφορμή αυτό προτείνω κάτι που μάλλον είναι γνωστό:

Να δειχθεί ότι η $x=Acos\theta +Bsin\theta , y=Ccos\theta +Dsin\theta$ είναι έλλειψη όταν $AD-BC\neq 0.$

[Δεκτή και αναφορά στην βιβλιογραφία, δεν το έψαξα και πολύ.]

Χαίρετε,

Το (x,y)

θα βαίνει επί της εικόνας του κύκλου $S^1=\{(\cos\theta,\sin\theta)|\theta\in[0,2\pi]\}$ μέσω της αφφινικής απεικόνισης

που εμφανίζεται αν ξαναγράψουμε το δοθέν σύστημα χρησιμοποιώντας πίνακες:
$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=f\big( \begin{bmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{bmatrix}\big)=\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{bmatrix}$
Η προτεινόμενη συνθήκη $\det{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\ne0$ καθιστά την απεικόνιση αφφινικό μετασχηματισμό του επιπέδου
η εικόνα του κύκλου μέσω του οποίου θα είναι μια έλλειψη

#3

Ωχ, με τα πολλά ισομετρικά ξέχασα τα αφφινικά -- ομοπαραλληλικά που τα λέγαμε επί Στεφανίδη

Ιάσων σ' ευχαριστώ για την απομυθοποιητική λύση, παραθέτω τώρα και την δική μου κάπως περιπετειώδη αλλά πιο στοιχειώδη και κατασκευαστική προσέγγιση:

Αντικαθιστώντας τις παραμετρικές εξισώσεις σε αναζητούμενη έλλειψη της μορφής px^2+qxy+ry^2=1

καταλήγουμε στην εξίσωση

$(pA^2+qAC+rC^2)cos^2\theta +(q(AD+BC)+2pAB+2rCD)cos\theta sin\theta +(pB^2+rD^2+qBD)sin^2\theta =1$

και από αυτήν στο γραμμικό σύστημα

A^2p+ACq+C^2r=1

Η επίλυση του συστήματος δίνει $p=\dfrac{C^2+D^2}{(AD-BC)^2}, q=\dfrac{2AB(C^2-D^2)+2CD(B^2-A^2)}{(AD-BC)^3}, r=\dfrac{A^2+B^2}{(AD-BC)^2},$ και επειδή ισχύει η $q^2<4pr\leftrightarrow (AD-BC)^4>0$ συμπεραίνουμε από το λήμμα εδώ ότι όντως πρόκειται περί έλλειψης.

Παραμετρική έλλειψη

Παραμετρική έλλειψη

Re: Παραμετρική έλλειψη

Re: Παραμετρική έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση