Μέγιστη αλλά μικρή

KARKAR · #1

: Μεγαλύτερη αλλά μικρή.png (11.21 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Πώς θα κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο ABC , (AB=AC)

, με την ιδιότητα

η διάμεσος

και η διχοτόμος

, να σχηματίζουν την μέγιστη δυνατή γωνία ;

abgd · #2

: max angle.png (50.82 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

Φέρνουμε τη μεσοκάθετο της βάσης του τριγώνου και έστω $\displaystyle{I, \ \ G}$ το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα του τριγώνου.

Αν $\displaystyle{BC=2a}$ και $\displaystyle{AC=x}$ τότε $\displaystyle{AK=\sqrt{x^2-a^2}$ , $\displaystyle{GK=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{3}}$ και

από το θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο $\displaystyle{KAC}$ προκύπτει εύκολα ότι $\displaystyle{IK=\frac{a\sqrt{x^2-a^2}}{a+x}}$ .

Είναι $\displaystyle{tan\frac{C}{2}=\frac{IK}{CK}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x+a}}$ και $\displaystyle{tan\omega=\frac{GK}{CK}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{3a}}$

Έτσι, $\displaystyle{tan\theta=tan\left(\frac{C}{2}-\omega\right)=\frac{tan\frac{C}{2}-tan\omega}{1+tan\frac{C}{2}tan\omega}=...=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\cdot \frac{2a-x}{2a+x}=f(x)}$

$\displaystyle{f'(x)=\frac{a(8a^2-5x^2)}{\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}(2a+x)^2(x+a)^2}}$

Συνεπώς η $\displaystyle{tan\theta}$ γίνεται μέγιστη όταν $\displaystyle{\frac{a}{x}=\frac{\sqrt{10}}{4}}$

Άρα για την κατασκευή του ισοσκελούς τριγώνου με μέγιστη $\displaystyle{\theta}$ αρκεί να θεωρήσουμε τη βάση του $\displaystyle{BC=2a}$ , με $\displaystyle{a}$ οποιονδήποτε θετικό
και τις γωνίες της βάσης του να είναι ίσες με τη γωνία η οποία έχει συνημίτονο $\displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{4}}$

Σημείωση: Τα παραπάνω βέβαια ισχύουν με την υπόθεση ότι το σημείο $\displaystyle{D}$ είναι μεταξύ των $\displaystyle{M,A}$ δηλαδή $\displaystyle{BC>AC=AB}$ .
Ερώτηση: Τι θα συμβεί όταν $\displaystyle{BC<AC=AB}$ ;

#3

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 01, 2023 8:29 pm

Ερώτηση: Τι θα συμβεί όταν $\displaystyle{BC<AC=AB}$ ;

Για ευκολία παίρνω a=1

και θέτω

Με τους τύπους διχοτόμου και διαμέσου βρίσκω:

: Μέγιστη αλλά μικρή.Κ.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

$\displaystyle C{M^2} = \frac{{{x^2} + 2}}{4},C{D^2} = \frac{{2{x^2} + x}}{{{{(x + 1)}^2}}},MD = \frac{{{x^2} - x}}{{2(x + 1)}}$ και με νόμο συνημιτόνου στο CDM

καταλήγω στη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \cos \theta = \frac{{(x + 1)(2x + 1)}}{{2\sqrt {x(2x + 1)({x^2} + 2)} }}, x>1$

Η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle (1, + \infty ),$ δεν έχει ακρότατα, αλλά είναι άνω και κάτω φραγμένη.

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = 1,$ $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \frac{1}{{\sqrt 2 }},$ οπότε $\boxed{0^\circ< \theta<45^\circ}$

abgd · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 02, 2023 2:46 pm

abgd έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 01, 2023 8:29 pm

Ερώτηση: Τι θα συμβεί όταν $\displaystyle{BC<AC=AB}$ ;
................. οπότε $\boxed{0^\circ< \theta<45^\circ}$

Πολύ ωραία Γιώργο.

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και με τη συνάρτηση που χρησιμοποίησα παραπάνω...

$\displaystyle{tan\theta=\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}\cdot \frac{x-2a}{x+2a}=f(x), \ \ x>2a}$

$\displaystyle{f'(x)=\frac{a(5x^2-8a^2)}{\sqrt{\frac{x-a}{x+a}}(2a+x)^2(x+a)^2}>0, \ \ \forall x>2a}$

Έτσι, για την γνησίως αύξουσα $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{f\left((2a,+\infty)\right)=\left(\lim_{x\to2a}{f(x)}, \lim_{x\to+\infty}{f(x)}\right)=(0,1)}$ .

οπότε $\boxed{0^\circ< \theta<45^\circ}$

Μέγιστη αλλά μικρή

Μέγιστη αλλά μικρή

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Re: Μέγιστη αλλά μικρή

Μέλη σε σύνδεση