Υπάρχει περίπτωση ;

KARKAR · #1

: Υπάρχει περίπτωση ;.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 1112 φορές

, εφάπτονται στον κύκλο .Υπάρχει περίπτωση να επιτύχουμε την ισότητα των πράσινων γωνιών του σχήματος ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 14, 2021 9:35 pm
Υπάρχει περίπτωση ;.png , εφάπτονται στον κύκλο .Υπάρχει περίπτωση να επιτύχουμε την ισότητα των πράσινων γωνιών του σχήματος ;

Υπάρχει.

Όταν στείλουμε το

στο άπειρο αριστερά, έχουμε $\angle TSA \to 0$ . Σε αυτή την περίπτωση το

τείνει στον βόρειο πόλο

του κύκλου, οπότε $\angle BDT \to \angle BDN = \angle DNA = \arctan \frac {1}{2} >0$ . Έτσι έχουμε περιπτώσεις με $\angle TSA < \angle BDT$ .

Αν αντιθέτως στείλουμε το

στο

, τότε $T\to B$ και άρα $\angle TSA\to \angle BDA = 90^o$ . Επίσης $\angle BDT \to 0$ . Άρα έχουμε περιπτώσεις με $\angle TSA > \angle BDT$ .

Επειδή τα μεγέθη μεταβάλλονται κατά συνεχή τρόπο, κάπου θα έχουμε ισότητα.

#3

: Υπάρχει...png (19.49 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

Υπάρχει και υπολογίζεται και κατασκευάζεται: $\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt {22 + 10\sqrt 5 } \left( {\sqrt 5 + 3} \right) - 8\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt {22 + 10\sqrt 5 } - 3 - \sqrt 5 } \right)}}}$

Μόλις βρω χρόνο, θα γράψω όλη τη λύση.

#4

Έστω κύκλος (O, r)

και τα εφαπτόμενα τμήματα SA=ST=y.

Είναι

και $\displaystyle T\widehat DB = A\widehat ST = \theta.$

Η

τέμνει την

στο

όπου θέτω

Η

τέμνει την

στο

Αρκεί να υπολογίσω το

: Υπάρχει.β.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 971 φορές

Με Π.Θ στο DNS

έχω: $\displaystyle (y - x{)^2} = {(y - r)^2} + {(x + r)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{r(x + r)}}{{r - x}}}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα STP,NTP

και

παίρνω: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{{TP}} = \dfrac{{TP}}{y}\\ \\ \dfrac{{x + r}}{{y - r}} = \dfrac{x}{{TP}} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x + r}}{{y - r}} = \sqrt {\frac{x}{y}}$

απ' όπου χρησιμοποιώντας την (1)

μετά από πράξεις καταλήγω στην $\displaystyle {x^4} + 6r{x^3} - 2{r^3}x - {r^4} = 0$

και παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {22 + 10\sqrt 5 } - 3 - \sqrt 5 } \right)}$ Το τμήμα

είναι κατασκευάσιμο, άρα

κατασκευάζεται και η γωνία $\theta$ της οποίας η εφαπτομένη δίνεται από τον τύπο της προηγούμενής μου ανάρτησης.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα! Είδα την $\sqrt{5}$ και ..μπήκα, αφού πίσω της ..

..κρύβεται ο χρυσός αριθμός $\Phi$ .

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 16, 2021 12:21 pm

Έστω κύκλος και τα εφαπτόμενα τμήματα Είναι και $\displaystyle T\widehat DB = A\widehat ST = \theta.$

Η τέμνει την στο όπου θέτω Η τέμνει την στο Αρκεί να υπολογίσω το
Με Π.Θ στο έχω: $\displaystyle (y - x{)^2} = {(y - r)^2} + {(x + r)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{r(x + r)}}{{r - x}}}$

Από τα όμοια τρίγωνα και παίρνω: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{{TP}} = \dfrac{{TP}}{y}\\ \\ \dfrac{{x + r}}{{y - r}} = \dfrac{x}{{TP}} \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x + r}}{{y - r}} = \sqrt {\frac{x}{y}}$

απ' όπου χρησιμοποιώντας την μετά από πράξεις καταλήγω στην $\displaystyle {x^4} + 6r{x^3} - 2{r^3}x - {r^4} = 0$

και παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \frac{r}{2}\left( {\sqrt {22 + 10\sqrt 5 } - 3 - \sqrt 5 } \right)}$ Το τμήμα είναι κατασκευάσιμο, άρα

κατασκευάζεται και η γωνία $\theta$ της οποίας η εφαπτομένη δίνεται από τον τύπο της προηγούμενής μου ανάρτησης.

Μια προσπάθεια για την κατασκευή του , όπως το υπολόγισε ο Γιώργος όταν δίνεται το

Η σχέση γράφεται και ως εξής: $x=\Phi ^{2}\sqrt{\Phi }r-\Phi ^{2}r$ . Θέτω $\Phi ^{2}\sqrt{\Phi }r=a$ και $\Phi ^{2}r=b$ οπότε $a=b\sqrt{\Phi }$ και x=a-b

.

: Υπάρχει...κατασκευή!.png (119.49 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Στο σχήμα φαίνονται οι ορθές γωνίες και έχουμε AE=AI=1

, $AB=IK= \Phi$ , EH=r...LP=MN=HQ

ενώ $BQ \parallel ZH$ και $LN \parallel AK$ . Παίρνουμε $\dfrac{HQ}{r}=\dfrac{BZ}{ZE}=\Phi ^{2}$ $\Rightarrow HQ=\Phi ^{2}r=b$ .

Ακόμη $\dfrac{MK^{2}}{MA^{2}}=\Phi \Rightarrow \dfrac{ML}{MN}=\dfrac{MK}{MA}=\sqrt{\Phi }$

άρα $\Rightarrow ML=\sqrt{\Phi }MN=b\sqrt{\Phi} =a$ και MP=ML-LP=a-b

.

Τελικά MP=a-b

συνεπώς το x=MP

είναι το ζητούμενο.

Φιλικά, Γιώργος.

Υπάρχει περίπτωση ;

Υπάρχει περίπτωση ;

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

Re: Υπάρχει περίπτωση ;

Μέλη σε σύνδεση