Morley ... με την όπισθεν [κατά Σπύρο Κουρούκλη]

[gbaloglou]

Πολύ ωραία απόδειξη (και παρουσίαση) από τον Σπύρο Κουρούκλη του Θεωρήματος Morley (περί του εκ τριχοτόμων ισοπλεύρου), δείτε εδώ!

[Η βασική στρατηγική: αρχίζουμε με ισόπλευρο τρίγωνο και τρεις γωνίες , , τέτοιες ώστε , τελειώνουμε με τρίγωνο γωνιών , , και & , & , & τριχοτόμους! (Τα , , προσδιορίζονται μονοσήμαντα από τις & , & , & , αντίστοιχα. Αν , , είναι οι τομές των & , & , & , αντίστοιχα, τότε τα , , είναι έγκεντρα των , , -- για παράδειγμα, το είναι ισοσκελές με γωνίες βάσης (και η μεσοκάθετος της ), οπότε αν το έγκεντρο του τότε , άρα .)]

[gbaloglou]

Πολύ ωραία απόδειξη (και παρουσίαση) από τον Σπύρο Κουρούκλη του Θεωρήματος Morley (περί του εκ τριχοτόμων ισοπλεύρου), δείτε εδώ!

Δεν γνωρίζω άλλες λεπτομέρειες επί του θέματος, αυτή όμως η απόδειξη φαίνεται να έχει δοθεί και από τον Νίκο Δεργιαδέ πριν 29 χρόνια ("Διάσταση" 1991 τ. 1-2, σελ. 37-38) δείτε πχ εδώ, όπου η μεν απόδειξη Δεργιαδέ παρατίθεται ως #2 στις "Συνθετικές Αποδείξεις", η δε απόδειξη Κουρούκλη αναφέρεται -- χωρίς να παρατίθεται -- ως #6 στις "Ανάστροφες Αποδείξεις"

[gbaloglou]

Πολύ ωραία απόδειξη (και παρουσίαση) από τον Σπύρο Κουρούκλη του Θεωρήματος Morley (περί του εκ τριχοτόμων ισοπλεύρου), δείτε εδώ!

Δεν γνωρίζω άλλες λεπτομέρειες επί του θέματος, αυτή όμως η απόδειξη φαίνεται να έχει δοθεί και από τον Νίκο Δεργιαδέ πριν 29 χρόνια ("Διάσταση" 1991 τ. 1-2, σελ. 37-38) δείτε πχ εδώ, όπου η μεν απόδειξη Δεργιαδέ παρατίθεται ως #2 στις "Συνθετικές Αποδείξεις", η δε απόδειξη Κουρούκλη αναφέρεται -- χωρίς να παρατίθεται -- ως #6 στις "Ανάστροφες Αποδείξεις"

Συγγνώμην και πάλι, ΝΟΜΙΣΑ ότι δεν παρατίθεται η απόδειξη Κουρούκλη ... καθώς βγαίνει ένα σχήμα Geogebra με τρεις συνδέσμους στο κάτω μέρος που δεν πρόσεξα...

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Χωρίς σχόλια.
Στο
H.Coxeter
Introduction to Geometry
2ed 1969

σελίδα 24.

Συμπλήρωμα.
Το βιβλίο βρίσκεται στο internet

[Demetres]

Ευχαριστούμε Σταύρο. Άφησα τη βιβλιογραφική αναφορά αλλά έσβησα την παραπομπή.

[tkmath]

Επιτρέψτε μου μερικές παρατηρήσεις για την αποκατάσταση της αλήθειας, τη διαφύλαξη της εγκυρότητας της ιστοσελίδας και την προάσπιση της επαγγελματικής υπόληψης.

1. Η προσεκτική παρακολούθηση της παρουσίασης δεν εντοπίζει τον ισχυρισμό «απόδειξη ΜΟΥ». Αντ’ αυτού αναφέρεται ότι υπάρχουν πολλές αποδείξεις ίσως περισσότερες από 50 (μεταξύ αυτών αξιοσημείωτη είναι η ελληνική συνεισφορά ενώ ξεχωρίζουν οι αποδείξεις του Morley, Penrose, Connes, Conway).

2. Στην περιγραφή του βίντεο αναγράφεται:

«Το μαθηματικό περιεχόμενο αποτελεί μέρος της εργασίας "Οι Τριχοτόμοι όπως οι Διχοτόμοι με ισόπλευρα αντί σημείων" που τιμήθηκε με το Βραβείο της Ακαδημίας Αθηνών ως η καλύτερη δημοσίευση στη Γεωμετρία το 2015.

Αυτό μπορεί να επαληθευτεί τουλάχιστον στον τύπο των ημερών εκείνων.

https://www.typosthes.gr/politiki/85581 ... n-gia-2015

Η εν λόγω εργασία πριν την δημοσίευση της ελέγχθηκε από τους συντάκτες του Περιοδικού στο οποίο δημοσιεύτηκε και από τους εισηγητές του χρηματικού βραβείου (μεταξύ αυτών ο ακαδημαϊκός Αθανάσιος Φωκάς, καθηγητής στο Cambridge και στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Καλιφόρνιας (UCS).
Από αυτά συμπεραίνεται ότι η απόδειξη πρέπει να ανήκει στον κ. Σπύρο Κουρούκλη.

3. Η κ. Νίκος Δεργιαδές όντως έχει δημοσιεύσει μια απόδειξη του θεωρήματος Morley. Στο διαδίκτυο μπορεί να βρεθεί στην ιστοσελίδα Cut the Knot στην κατηγορία Synthetic Proofs #2.
Αλλά όπως μπορεί να διαπιστωθεί από την απόδειξη της δεν ακολουθεί την «μέθοδο με την όπισθεν». Στην ίδια ιστοσελίδα υπάρχει αναφορά για την απόδειξη Κουρούκλη στην κατηγορία «Backwards Proofs» #6 με τίτλο Morley Equilaterals όπου το θεώρημα αποδεικνύεται για εσωτερικές και εξωτερικές τριχοτόμους.

4. Όπως αναφέρεται στον επίλογο του βίντεο υπάρχει συνέχεια για άλλα δύο είδη τριχοτόμων σε επόμενο βίντεο. Οπότε σώφρον είναι η επίδειξη υπομονής ώστε να διαπιστωθεί αν η μέθοδος αυτή μπορεί να αντιμετωπίσει και τις περιπτώσεις αυτές. Για το τρίτο είδος δεν γνωρίζω κάποια αναφορά στην διεθνή βιβλιογραφία.

Είμαι σίγουρος ότι περισσότερες διευκρινήσεις θα μπορούσε να δώσει ο δημιουργός του βίντεο αν ενημερωνόταν σχετικά.

[gbaloglou]

Επιτρέψτε μου μερικές παρατηρήσεις για την αποκατάσταση της αλήθειας, τη διαφύλαξη της εγκυρότητας της ιστοσελίδας και την προάσπιση της επαγγελματικής υπόληψης.

1. Η προσεκτική παρακολούθηση της παρουσίασης δεν εντοπίζει τον ισχυρισμό «απόδειξη ΜΟΥ». Αντ’ αυτού αναφέρεται ότι υπάρχουν πολλές αποδείξεις ίσως περισσότερες από 50 (μεταξύ αυτών αξιοσημείωτη είναι η ελληνική συνεισφορά ενώ ξεχωρίζουν οι αποδείξεις του Morley, Penrose, Connes, Conway).

2. Στην περιγραφή του βίντεο αναγράφεται:

«Το μαθηματικό περιεχόμενο αποτελεί μέρος της εργασίας "Οι Τριχοτόμοι όπως οι Διχοτόμοι με ισόπλευρα αντί σημείων" που τιμήθηκε με το Βραβείο της Ακαδημίας Αθηνών ως η καλύτερη δημοσίευση στη Γεωμετρία το 2015.

Αυτό μπορεί να επαληθευτεί τουλάχιστον στον τύπο των ημερών εκείνων.

https://www.typosthes.gr/politiki/85581 ... n-gia-2015

Η εν λόγω εργασία πριν την δημοσίευση της ελέγχθηκε από τους συντάκτες του Περιοδικού στο οποίο δημοσιεύτηκε και από τους εισηγητές του χρηματικού βραβείου (μεταξύ αυτών ο ακαδημαϊκός Αθανάσιος Φωκάς, καθηγητής στο Cambridge και στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Καλιφόρνιας (UCS).
Από αυτά συμπεραίνεται ότι η απόδειξη πρέπει να ανήκει στον κ. Σπύρο Κουρούκλη.

Ουσιαστικά το #2 εξουδετερώνει το #1 ... με το οποίο #1 θα διαφωνούσα κάθετα: όταν παρουσιάζεις μια απόδειξη χωρίς να λες ότι δόθηκε από κάποιον άλλον ... τότε το λογικό και το ηθικό είναι να συμπεράνει το ακροατήριο ότι είναι δική σου.

3. Η κ. Νίκος Δεργιαδές όντως έχει δημοσιεύσει μια απόδειξη του θεωρήματος Morley. Στο διαδίκτυο μπορεί να βρεθεί στην ιστοσελίδα Cut the Knot στην κατηγορία Synthetic Proofs #2.
Αλλά όπως μπορεί να διαπιστωθεί από την απόδειξη της δεν ακολουθεί την «μέθοδο με την όπισθεν». Στην ίδια ιστοσελίδα υπάρχει αναφορά για την απόδειξη Κουρούκλη στην κατηγορία «Backwards Proofs» #6 με τίτλο Morley Equilaterals όπου το θεώρημα αποδεικνύεται για εσωτερικές και εξωτερικές τριχοτόμους.

Για μένα οι δύο αποδείξεις, Κουρούκλη ( ; ) και Δεργιαδέ ... είναι περίπου ίδιες ... παρά την διαφορετική τους 'ταξινόμηση'.

4. Όπως αναφέρεται στον επίλογο του βίντεο υπάρχει συνέχεια για άλλα δύο είδη τριχοτόμων σε επόμενο βίντεο. Οπότε σώφρον είναι η επίδειξη υπομονής ώστε να διαπιστωθεί αν η μέθοδος αυτή μπορεί να αντιμετωπίσει και τις περιπτώσεις αυτές. Για το τρίτο είδος δεν γνωρίζω κάποια αναφορά στην διεθνή βιβλιογραφία.

Είμαι σίγουρος ότι περισσότερες διευκρινήσεις θα μπορούσε να δώσει ο δημιουργός του βίντεο αν ενημερωνόταν σχετικά.

Σίγουρα...

[gbaloglou]

3. Η κ. Νίκος Δεργιαδές όντως έχει δημοσιεύσει μια απόδειξη του θεωρήματος Morley. Στο διαδίκτυο μπορεί να βρεθεί στην ιστοσελίδα Cut the Knot στην κατηγορία Synthetic Proofs #2.
Αλλά όπως μπορεί να διαπιστωθεί από την απόδειξη της δεν ακολουθεί την «μέθοδο με την όπισθεν». Στην ίδια ιστοσελίδα υπάρχει αναφορά για την απόδειξη Κουρούκλη στην κατηγορία «Backwards Proofs» #6 με τίτλο Morley Equilaterals όπου το θεώρημα αποδεικνύεται για εσωτερικές και εξωτερικές τριχοτόμους.

Για μένα οι δύο αποδείξεις, Κουρούκλη ( ; ) και Δεργιαδέ ... είναι περίπου ίδιες ... παρά την διαφορετική τους 'ταξινόμηση'.

Ειδικότερα δε η απόδειξη Δεργιαδέ θα έπρεπε και αυτή να ταξινομηθεί ως backward proof στο cut-the-knot, καθώς ξεκινά και αυτή από ισόπλευρο τρίγωνο (που θα δειχθεί ότι αποτελεί τρίγωνο Morley τριγώνου με δοθείσες γωνίες).

Σε κάθε περίπτωση, το να ανακαλυφθεί ανεξάρτητα μια απόδειξη για δεύτερη ή τρίτη ή και πολλοστή ακόμη φορά δεν είναι απίθανο, ειδικά όταν, όπως επισημάνθηκε, αποτελεί μέρος ευρύτερης μελέτης. Δεν θα ήθελα να μείνουμε με την εντύπωση ότι ο Κουρούκλης (που τόσο με ενθουσίασε με την παρουσίαση του) αντέγραψε τον Δεργιαδέ ή ότι ο Δεργιαδές (που γνωρίζω προσωπικά και εκτιμώ απεριόριστα) αντέγραψε τον Coxeter, κλπ κλπ Απολογούμαι για την αναστάτωση που προκάλεσα ... και αναδημοσιεύω εδώ ένα σχήμα από την μελέτη του κ. Κουρούκλη (όπως αυτή παρουσιάζεται στο cut-the-knot)!

morley-5.jpg (25.72 KiB) Προβλήθηκε 1846 φορές

[SKuruklis]

Επιτρέψτε μου μερικές επισημάνσεις- έστω και καθυστερημένα - που ίσως φανούν ενδιαφέρουσες.

Η υπό συζήτηση απόδειξη του θεωρήματος Morley, όπως παρουσιάζεται στο YouTube, προέρχεται από τη δημοσίευσηTrisectors like Bisectors with Equilaterals instead of Points - Τριχοτόμοι όπως Διχοτόμοι με Ισόπλευρα αντί Σημείων.

Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε είναι γνωστή ως «backwards – ανάστροφη» και έχει αξιοποιηθεί από αρκετές αποδείξεις του θεωρήματος. Βασίζεται στο γεγονός ότι για την επαλήθευση του θεωρήματος Morley σε δοθέν τρίγωνο αρκεί να δειχθεί ότι το θεώρημα ισχύσει σε κάποιο άλλο τρίγωνο που έχει γωνίες ίσες με τις αντίστοιχες του δοθέντος. Κάθε διαφορετική απόδειξη με την ανάστροφο μέθοδο δημιουργεί το νέο τρίγωνο με τον δικό της τρόπο.

Η παραπάνω δημοσίευση μεταξύ άλλων διακρίνεται για τα εξής:
1. Το νέο τρίγωνο κατασκευάζεται με τη μέθοδο «Ανάλυση – Σύνθεση», γνωστή από τα μαθητικά μας χρόνια. Έτσι δικαιολογούνται οι απαιτούμενες γωνίες κατασκευής του νέου τριγώνου.
2. Η Σύνθεση αποδεικνύει ότι το τρίγωνο που κατασκευάζεται είναι το ζητούμενο διασυνδέοντας τριχοτόμους με διχοτόμους, αφού δύο ευθείες είναι τριχοτόμοι μιας γωνίας αν η καθεμιά είναι διχοτόμος της γωνίας μεταξύ μιας πλευράς του τριγώνου και τής άλλης. Έτσι μια τριχοτόμος τεκμηριώνεται πρώτα ως διχοτόμος δοθέντος ότι αυτή διέρχεται από το έκκεντρο (ή το παράκεντρο) αντιστοίχου τριγώνου. Το έκκεντρο (ή παράκεντρο) είναι καθορισμένο από μια άλλη διχοτόμο του και μια γωνία του, όπως φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα 1.

Σχήμα 1. Καθορισμός Έκκεντρου I και Παράκεντρου Iz από μια διχοτόμο και μια γωνία.

MorleyVariantsFig3.jpg (25.5 KiB) Προβλήθηκε 1246 φορές

3. Η παραπάνω μεθοδολογία εφαρμόζεται για να αποδείξει ακόμη ότι:
α. Οι εξωτερικές τριχοτόμοι ενός τριγώνου, πλησιέστερες στις πλευρές αντίστοιχα, τέμνονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.
β. Οι εσωτερικές τριχοτόμοι μιας γωνίας και οι εξωτερικές τριχοτόμοι των δύο άλλων, πλησιέστερες στις πλευρές, τέμνονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.
Μετά τη δημοσίευση πληροφορήθηκα ότι υπάρχουν αποδείξεις του (α) από γνωστούς Έλληνες γεωμέτρες πριν το 1990. Δεν θα με εξέπληττε η ύπαρξη ομοιοτήτων της ανωτέρω προσέγγισης σε κάποιες εξ αυτών.

Σήμερα η παραπάνω δημοσίευση φαίνεται πρωτόλειο όπως πραγματικά είναι. Καλύπτει 5 από τις 18 παραλλαγές του θεωρήματος που ισχύουν για κατάλληλους συνδυασμούς ειδών τριχοτόμων. Προφανώς εκτός των εσωτερικών τριχοτόμων υπάρχουν δύο ακόμη είδη τριχοτόμων αφού στο εξωτερικό κάθε γωνίας σχηματίζονται η εξωτερική και η ολοκληρωτική (μη κυρτή) γωνία.
Οι κατάλληλοι συνδυασμοί συνοψίζονται στην ακόλουθη επέκταση του θεωρήματος Morley - η απόδειξη του οποίου με διαφορετικούς τρόπους - βρίσκεται στις δημοσιεύσεις A Trigonometrical approach to Morley’s general theorem και A Holistic Approach to Morley’s general theorem.

Σε ένα τρίγωνο, οι τριχοτόμοι του ιδίου είδους για όλες τις γωνίες, ή ενός είδους διαφορετικού για καθεμιά, ή ενός είδους για μια γωνία και του αντίστοιχου είδους για τις άλλες δύο γωνίες, πλησιέστερες στις πλευρές, τέμνονται στις κορυφές ενός ισοπλεύρου.

Όπως αναμένεται μπορεί να αποδειχθεί και με την παραπάνω μεθοδολογία. Morley’s theorem variants (παραλλαγές). Ας σημειωθεί ότι η "Ανάλυση" διαδραματίζει κομβικό ρόλο για τον υπολογισμό γωνιών των διάφορων κατασκευών του νέου τριγώνου.

Ο Frank Morley ανακάλυψε το θεώρημα γύρω στο 1900, παρατηρώντας περίπλοκες τριτοβάθμιες εξισώσεις, ενώ μελετούσε τις εφαπτόμενες σε ένα καρδιοειδές. Μετά από πολυάριθμες δημοσιεύσεις, μερικές εκ των οποίων από εξαιρετικά διακεκριμένους συγγραφείς, έχουν επιτευχθεί σημαντικά βήματα προόδου για την κατανόηση του θεωρήματος. Πολλοί νοιώθουν ότι είναι ένα απλό, πολυσυζητημένο και ίσως πλέον κουραστικό θέμα. Μερικοί άλλοι κατανοούν ότι περεταίρω προσπάθειες απαιτούνται που πιθανότατα επιφυλάσσουν αριστουργηματικές αποδείξεις. Ενδεικτικά:
i. Ποιος είναι ο ακριβής αριθμός ισοπλεύρων στις κορυφές των οποίων τέμνονται οι τριχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου?
ii. Υπάρχει απλή απόδειξη του αντιστρόφου του θεωρήματος Morley?
iii. Τι συμπεραίνεται στην Γεωμετρία από το θεώρημα Morley? Συνεπάγεται αυτό κάποιο γνωστό θεώρημα?
iv. Ποιες γεωμετρικές διατάξεις ικανοποιούν τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου και ποια η σχέση τους με άλλα χαρακτηριστικά σημεία του τριγώνου?
Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι: Οι ευθείες που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με τα σημεία τομής των τριχοτόμων πλησιέστερων (ή απώτερων) στις απέναντι πλευρές του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Εδώ
Επίσης: Οι τριχοτόμοι πλησιέστερες σε μια πλευρά τέμνονται πάνω σε 3 τριάδες παραλλήλων ευθειών, όπως υποδεικνύει το Σχήμα 2.

Σχήμα 2. Οι τριχοτόμοι πλησιέστερες σε μια πλευρά τέμνονται πάνω σε 3 τριάδες παραλλήλων ευθειών (οι εσωτερικές, εξωτερικές και ολοκληρωτικές τριχοτόμοι παρίστανται με πράσινες, μπλε και κόκκινες διακεκομμένες γραμμές αντίστοιχα).

MorleyVariantsFig5_new.jpg (79.99 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές