Μέγιστος κύκλος

#1

Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου σε ισοσκελές τρίγωνο (με σταθερές ίσες πλευρές ) κυκλικού δίσκου μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .

Υ.Γ. Έχω μια λύση η οποία στηρίζεται στο $R\geqslant 2r$ . Κάτι απλούστερο ;

Edit (Αλλαγή διατύπωσης - Δείτε την επόμενη δημοσίευση - ευχαριστώ τον κ Λάμπρου)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο σταθερής ακτίνας . Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κυκλικού δίσκου στο τρίγωνο μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .

#2

exdx έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 2:04 pm
Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου σε ισοσκελές τρίγωνο (με σταθερές ίσες πλευρές ) κυκλικού δίσκου μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .

Γιώργο, μπορεί να μην αληθεύει εκτός αν κάπου κάνω λάθος.

Αν

η κορυφή,

τα σταθερά ίσα σκέλη και

το μέσον την

, έχουμε

$r = BD \tan \dfrac {B}{2} = b \cos B \tan \dfrac {B}{2} =b \dfrac {1-t^2}{1+t^2} t$ όπου $t=\tan \dfrac {B}{2}$

H $\dfrac {1-t^2}{1+t^2} t$ έχει ολικό μέγιστο όταν η παράγωγός της $\dfrac {1-4t^2-t^4}{(1+t^2)^2}$ μηδενίζεται. Βγάζω ότι τότε $\tan \dfrac {B}{2} =t= \sqrt {-2+\sqrt 5}}\approx 0.4858$ που δίνει $B \approx 51,8^o$ .

#3

Μία απάντηση για το μέγιστο του αρχικού προβλήματος (για τον κόπο επειδή την είχα ήδη έτοιμη).Αρκεί να βρούμε πότε η ακτίνα γίνεται μέγιστη.

: Μέγιστος κύκλος.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 1091 φορές

$\displaystyle \frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{2b}}{a} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{r} = \frac{{a + 2b}}{a} \Leftrightarrow r = f(a) = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}}$ με $\displaystyle f'(a) = - \frac{{{a^2} + 2ba - 4{b^2}}}{{2(a + 2b)\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}$

Η ακτίνα του κύκλου, άρα και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου, μεγιστοποιείται όταν $\boxed{a=(\sqrt 5 -1)b}$

#4

exdx έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 2:04 pm

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , εγγεγραμμένο σε κύκλο σταθερής ακτίνας . Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κυκλικού δίσκου στο τρίγωνο μεγιστοποιείται , όταν αυτό γίνει ισόπλευρο .

Από το προηγούμενο είναι $\displaystyle r = \frac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2(a + 2b)}}$ κι επειδή $\displaystyle a = 2R\sin 2B,b = 2R\sin B$

καταλήγουμε στη συνάρτηση $\displaystyle r=f(x) = \frac{{2Rx(1 - {x^2})}}{{x + 1}},$ όπου $\displaystyle x = \cos B$ (λόγω φακέλου παρέλειψα αρκετές πράξεις).

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x = \frac{1}{2},$ δηλαδή $\widehat B=60^\circ,$ άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,

$r=\dfrac{R}{2}$ και το μέγιστο εμβαδόν $\displaystyle {E_{\max }} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}$

Μέγιστος κύκλος

Μέγιστος κύκλος

Re: Μέγισιτος κύκλος

Re: Μέγιστος κύκλος

Re: Μέγιστος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση