Μικτόγραμμο τετράπλευρο

KARKAR · #1

: Μικτόγραμμο τετράπλευρο.png (10.66 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές

Υπολογίστε το εμβαδόν

του μικτόγραμμου τετραπλεύρου PQTS

, με τέσσερις (!)

τουλάχιστον διαφορετικούς τρόπους . Γράψτε αυτόν που σας φαίνεται βολικότερος .

Tolaso J Kos · #2

Χαλό Θανάση, (αυτή η άσκηση μου θύμισε μία άσκηση ίδιου τύπου που έχω βάλει στο βιβλίο της Γ)

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[->] (-0.5, 0) -- (2.5, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -0.5) -- (0, 7.5) node[left]{y}; \draw (0, 0) node[below left]{O}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \draw (2, 0) node[below]{2}; \draw[dashed] (0, 2) -- (1, 2) -- (1, 0); \draw[dashed] (0, 2) -- (2, 2); \draw[dashed] (0, 7) -- (2, 7) -- (2,0); \draw (2, 7) node[right]{T}; \draw (0, 7) node[left]{Q}; \draw (0, 2) node[left]{P}; \draw (2, 2) node[right]{S}; %draw area \fill[lightgray, domain=1:2] plot(\x,{( (\x)^3+ 3*(\x) )/2} ) -- (2, 7) -- (0, 7) -- (0, 2) -- (1, 2); \draw[line width=1.2pt] plot[smooth,domain=0:2] (\x, {( (\x)^3+ 3*(\x) )/2}); \end{tikzpicture}}$
Είναι $\mathrm{S}(2, 2)$ , $\mathrm{P}(0, 2)$ , $\mathrm{Q}(0, 7)$ και $\mathrm{T}(2,7)$ . Το $\mathrm{PQTS}$ είναι ορθογώνιο με εμβαδόν $\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PS} = 5 \cdot 2 =10$ τ.μ. Το ζητούμενο εμβαδόν (γραμμοσκιασμένο χωρίο) είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου μείον το εμβαδόν που περικλείεται της $\mathcal{C}_f$ , των ευθειών x=1

,

και

. Όμως, το τελευταίο εμβαδόν είναι ίσο με

$\displaystyle{\mathrm{E} = \int_{1}^{2} \left ( \frac{x^3+3x}{2} - 2 \right ) \, \mathrm{d}x = \frac{17}{8}}$
Άρα, το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με $\mathcal{A} = 10 - \frac{17}{8} = \frac{63}{8}$ τ.μ.

Edit: Είχα βάλει λάθος συνάρτηση η οποία διορθώθηκε.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2024 9:25 am
Μικτόγραμμο τετράπλευρο.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τετραπλεύρου , με τέσσερις (!)

τουλάχιστον διαφορετικούς τρόπους . Γράψτε αυτόν που σας φαίνεται βολικότερος .

.

: Μεικτόγραμμο τετράπλευρο_new.png (17.33 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

.
$\boxed{F = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + 3x}}{2}dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{8} + \frac{{3{x^2}}}{4}} \right]} _1^2 = \frac{{33}}{8}}$ . Επομένως , $\boxed{E = 2 \cdot 7 - 1 \cdot 2 - F = 12 - \frac{{33}}{8} = \frac{{63}}{8}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2024 9:25 am
Μικτόγραμμο τετράπλευρο.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τετραπλεύρου , με τέσσερις (!)

τουλάχιστον διαφορετικούς τρόπους . Γράψτε αυτόν που σας φαίνεται βολικότερος .

Γίνεται και με απ’ ευθείας ένα ολοκλήρωμα :

$\boxed{E = \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)} dx = \int\limits_1^2 {\frac{{3x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{2}} dx = \frac{{63}}{8}}$

Η σχετική πρόταση δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο κι αν την χρησιμοποιήσει κάποιος πρέπει να την αποδείξει .

( Υπάρχει σε αρκετά βιβλία των γνωστών συγγραφέων )

Αν η συνάρτηση

είναι γνήσια μονότονη με συνεχή παράγωγο στο $\left[ {a,b} \right]$ τότε:

$\boxed{\int\limits_{f\left( a \right)}^{f\left( b \right)} {{f^{ - 1}}\left( y \right)} dy = \int\limits_a^b {xf'\left( x \right)} dx}$ .

Μικτόγραμμο τετράπλευρο

Μικτόγραμμο τετράπλευρο

Re: Μικτόγραμμο τετράπλευρο

Re: Μικτόγραμμο τετράπλευρο

Re: Μικτόγραμμο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση