Μελέτη προσήμου

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ η οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R},$

ικανοποιεί τη σχέση: $f(x)-e^{-f(x)}=x-1.$

Να μελετήσετε ως προς το πρόσημο τη συνάρτηση:

$g(x)=f(x)-\ln \left ( x-1+\sqrt{x^2-2x+4} \right ),x\in\mathbb{R}.$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

#3

Μια λύση με πολλές πράξεις
Τα κύρια σημεία ...

Mε χρήση της συνάρτησης $\displaystyle t(x)=x-{{e}^{-x}}+1$ , δείχνουμε ότι η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα , έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το $\displaystyle R$ και $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=x-{{e}^{-x}}+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\in R$
Επίσης η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\ln \left( x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right)$ ορίζεται στο $\displaystyle R$ , έχει $\displaystyle {g}'(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}}>0$ , οπότε είναι γνησίως αύξουσα , άρα αντιστρέψιμη και με όρια βρίσκουμε ότι έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle R$ .
Ξεκινώντας από τη σχέση $\displaystyle y=\ln \left( x-1+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4} \right)$ , βρίσκουμε την $\displaystyle {{e}^{y}}-(x-1)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$ και κατόπιν $\displaystyle 3{{e}^{-y}}-(x-1)=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+4}$ , οπότε $\displaystyle {{g}^{-1}}(x)=\frac{{{e}^{x}}-3{{e}^{-x}}+2}{2},\,\,\,x\in R$
Εύκολα δείχνουμε ότι οι $\displaystyle {{g}^{-1}}(x),{{f}^{-1}}(x)$ είναι επίσης γνησίως αύξουσες .
Θεωρούμε την $\displaystyle k(x)={{g}^{-1}}(x)-{{f}^{-1}}(x)=\frac{{{e}^{x}}-3{{e}^{-x}}+2}{2}-x-{{e}^{-x}}+1=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}-2x}{2}$ , $\displaystyle x\in R$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα με $\displaystyle k(0)=0$ , επομένως αν
$\displaystyle \begin{array}{l} x > 0 \Rightarrow k(x) > 0 \Rightarrow {g^{ - 1}}(x) - {f^{ - 1}}(x) > 0 \Rightarrow {g^{ - 1}}(x) > {f^{ - 1}}(x) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow {g^{ - 1}}(g(x)) > {f^{ - 1}}(g(x)) \Rightarrow x > {f^{ - 1}}(g(x)) \Rightarrow f(x) > f({f^{ - 1}}(g(x))) \Rightarrow f(x) > g(x) \end{array}$

Ομοίως , αν $\displaystyle x<0\Rightarrow f(x)<g(x)$

Μελέτη προσήμου

Μελέτη προσήμου

Re: Μελέτη προσήμου

Re: Μελέτη προσήμου

Μέλη σε σύνδεση