Αντιπαράδειγμα

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3599
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Αντιπαράδειγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am

Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 771
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Αντιπαράδειγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Φεβ 09, 2018 12:00 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.
Η ακολουθία a_n = (-1)^n με τις άπειρες υπακολουθίες παίρνοντας τους όρους πολλαπλάσιους του 2, 4, 6, κτλ. Νομίζω κάνει.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Αντιπαράδειγμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Φεβ 09, 2018 12:07 pm

... ή η ακολουθία a_n=\cos(n\pi)\,,\; n\in\mathbb{N}\,, τις οποίας το όριο δεν υπάρχει, αλλά για κάθε k\in\mathbb{N} η υπακολουθία a_{2kn}=\cos(2kn\pi)=1\,,\; n\in\mathbb{N}\,, είναι σταθερή και έχει όριο το 1.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10675
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντιπαράδειγμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 09, 2018 12:19 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.
Τα δύο προηγούμενα παραδείγματα είναι μια χαρά αλλά αν θέλεις υπακολουθίες που δεν έχουν κανένα κοινό όρο, τότε
για κάθε πρώτο p η \displaystyle{a_{p^n} = 1} και 0 στα υπόλοιπα, μας κάνει.

(Δηλαδή εδώ a_2=a_4=a_8=a_{16} = ...= 1 και a_3=a_9=a_{27}=a_{81} = ...= 1, και λοιπά).
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Φεβ 10, 2018 1:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αντιπαράδειγμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 09, 2018 4:12 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.
Δεν νομίζω ότι έχει τεθεί σωστά το ερώτημα.
Αν μια ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία τότε και κάθε υπακολουθία αυτής είναι συγκλίνουσα.
Ολες αυτές που είναι υπεραριθμήσιμες είναι υπακολουθίες της αρχικής.
Δηλαδή αν μια ακολουθία έχει μία συγκλίνουσα υπακολουθία τότε ισοδύναμα έχει άπειρες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο.


Ενδιαφέρον είναι το εξής

Υπάρχει (a_{n})_{n\in \mathbb{N}} μία ακολουθία και
(a_{n})_{n\in A_{i}},i\in I (I άπειρο)
υπακολουθίες της που όλες έχουν το ίδιο όριο.
Επιπλέον \mathbb{N}=\cup _{i\in I}A_{i}
και η ακολουθία δεν συγκλίνει.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10675
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αντιπαράδειγμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 09, 2018 5:58 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 4:12 pm
Ενδιαφέρον είναι το εξής

Υπάρχει (a_{n})_{n\in \mathbb{N}} μία ακολουθία και
(a_{n})_{n\in A_{i}},i\in I (I άπειρο)
υπακολουθίες της που όλες έχουν το ίδιο όριο.
Επιπλέον \mathbb{N}=\cup _{i\in I}A_{i}
και η ακολουθία δεν συγκλίνει.
Ενδιαφέρον.

Θέτουμε a_{2n}= 1, \, a_{2n+1}=0, οπότε δεν συγκλίνει.

Χωρίζουμε τώρα τους περιττούς σε αριθμήσιμο πλήθος άπειρων ξένων ανά δύο συνόλων
I_1\cup I_2 \cup ... = \{2n+1 : \, n \in \mathbb N\} (απλό, και γίνεται τόξο υπαρξιακά όσο και κατασκευαστικά)

Οι υπακολουθίες είναι, για κάθε σταθερό n, οι \displaystyle{\{a_{2n}\} \cup \{a_{k} \,: k\in I_n\} }

Για κάθε σταθερό n αυτές συκλίνουν γιατί από έναν όρο και πέρα (μετά τον \displaystyle{{2n} }) είναι σταθερές 0.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3599
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Αντιπαράδειγμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 09, 2018 7:59 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 4:12 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.
Δεν νομίζω ότι έχει τεθεί σωστά το ερώτημα.
Σταύρο,

ήταν θέμα εξετάσεων σε θέμα Απειροστικού Ι. Το αντέγραψα αυτούσιο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης