Ομοιόμορφη σύγκλιση μη συνεχούς ακολουθίας

Ιστοσελίδα · #1

Έστω μία ακολουθία συναρτήσεων $f_n : \mathbb{R} - \{x_0 \} \rightarrow \mathbb{R}$ .

α. Μπορεί να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία συνάρτηση που ορίζεται και στο x_0

και είναι συνεχής σε αυτό ;
β. Η $f_n (x) = \frac{n}{x+2} - \frac{n-1}{x} - \frac{x-4}{x^2 + 2x}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) = 0

;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

polysot έγραψε:Έστω μία ακολουθία συναρτήσεων $f_n : \mathbb{R} - \{x_0 \} \rightarrow \mathbb{R}$ .

α. Μπορεί να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία συνάρτηση που ορίζεται και στο και είναι συνεχής σε αυτό ;
β. Η $f_n (x) = \frac{n}{x+2} - \frac{n-1}{x} - \frac{x-4}{x^2 + 2x}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το δεύτερο το βγάζω ναι. Το πρώτο δεν ξέρω πόσο νόημα έχει ως ερώτημα, αλλά θα ήθελα να δω γνώμες. Λέω μήπως μου ξεφεύγει κάτι.

α. Δεν είμαι βέβαιος τι ρωτά το πρώτο, δεδομένου ότι οι $f_n, \, f$ δεν ορίζονται καν στο x_o

. Αν η ερώτηση είναι
"Μπορεί μία ακολουθία ασυνεχών συναρτήσεων να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία συνεχή;"

Η απάντηση είναι ναι. Π.χ. η f_n(x) = 0

αν

και

αν

(ή ακόμα και για $x\ge 0$ ) συγκλίνει στην παντού συνεχή

, όπου

για κάθε

.

Μπορούμε άλλωστε να φτιάξουμε παραδείγματα παντού ασυνεχών f_n

που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε μία παντού συνεχή

. Ένα παράδειγμα είναι οι f_n

που είναι

στους ρητούς και 1/n

στους άρρητους.

β. Οι f_n

δεν ορίζονται παντού λόγω μηδενιζόμενων παρονομαστών, οπότε ας εργαστούμε στο $(0, \, +\infty)$ . Εκεί δεν συγκλίνει πουθενά. Είναι ευκολότερο να πάρουμε ένα συγκεκριμένο

, π.χ. το

και θα το δούμε αμέσως. Εδώ f_n(1)= -2n/3+2

που πάει στο $-\infty$ (όχι στο

)

Ιστοσελίδα · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
polysot έγραψε:Έστω μία ακολουθία συναρτήσεων $f_n : \mathbb{R} - \{x_0 \} \rightarrow \mathbb{R}$ .

α. Μπορεί να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία συνάρτηση που ορίζεται και στο και είναι συνεχής σε αυτό ;
β. Η $f_n (x) = \frac{n}{x+2} - \frac{n-1}{x} - \frac{x-4}{x^2 + 2x}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το δεύτερο το βγάζω ναι. Το πρώτο δεν ξέρω πόσο νόημα έχει ως ερώτημα, αλλά θα ήθελα να δω γνώμες. Λέω μήπως μου ξεφεύγει κάτι.
α. Δεν είμαι βέβαιος τι ρωτά το πρώτο, δεδομένου ότι οι $f_n, \, f$ δεν ορίζονται καν στο . Αν η ερώτηση είναι
"Μπορεί μία ακολουθία ασυνεχών συναρτήσεων να συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία συνεχή;"

Η απάντηση είναι ναι. Π.χ. η αν και αν (ή ακόμα και για $x\ge 0$ ) συγκλίνει στην παντού συνεχή , όπου για κάθε .

Μπορούμε άλλωστε να φτιάξουμε παραδείγματα παντού ασυνεχών που συγκλίνουν ομοιόμορφα σε μία παντού συνεχή . Ένα παράδειγμα είναι οι που είναι στους ρητούς και στους άρρητους.

β. Οι δεν ορίζονται παντού λόγω μηδενιζόμενων παρονομαστών, οπότε ας εργαστούμε στο $(0, \, +\infty)$ . Εκεί δεν συγκλίνει πουθενά. Είναι ευκολότερο να πάρουμε ένα συγκεκριμένο , π.χ. το και θα το δούμε αμέσως. Εδώ που πάει στο $-\infty$ (όχι στο )

Οπότε για το δεύτερο που το υποψιαζόμουν, αλλά δεν ήμουν σίγουρος είναι σωστό.
Το δεύτερο το έβγαλα λάθος. Διότι σκεφτόμουν $n \rightarrow 3$ και όχι στο $+\infty$ . ΑΣΧΕΤΟ με την ομοιόμορφη σύγκλιση, αλλά σχετικό με ένα πρόβλημα που είχα στο μυαλό μου.
Ευχαριστώ.

Ομοιόμορφη σύγκλιση μη συνεχούς ακολουθίας

Ομοιόμορφη σύγκλιση μη συνεχούς ακολουθίας

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση μη συνεχούς ακολουθίας

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση μη συνεχούς ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση