Υπάρχει c

hsiodos · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{\,f(0) = 2\,\,,\,\,f(1) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{f{'}}(0) = - 2}$ .

Δείξτε ότι υπάρχει $\displaystyle{c \in \left( {0\,,1} \right)}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(c){f{'}}(c) + {f{''}}(c) = 0}$ .

ΥΓ. Την βάζω εδώ γιατί δεν έχω αμιγώς σχολική λύση.

hsiodos · #2

Επαναφορά.

(Δεν γνωρίζω την πηγή. Δόθηκε σε μαθητή. Έχω μια λύση που από ένα σημείο και μετά ξεφεύγει από την σχολική ύλη.)

Eukleidis · #3

Θα κάνω μια προσπάθεια, ελπίζω να μην είμαι λάθος.
Έστω $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} + f'\left( x \right)}$ με $\displaystyle{g\left( 0 \right) = 0}$ .
Αν υπάρχει άλλη μια ρίζα της $\displaystyle{g}$ στο εν λόγω διάστημα τελειώσαμε.

Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \ne 0,x \in \left( {0,1} \right]}$ .
Τότε η $\displaystyle{g}$ θα διατηρεί πρόσημο λόγω συνέχειας. Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{g > 0}$ .
Τότε $\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{2}f\left( x \right) > 0 \Rightarrow \left( {f\left( x \right){e^{\int\limits_0^x {\frac{1}{2}f\left( t \right)dt} }}} \right)' > 0}$
$\displaystyle{f\left( x \right){e^{\int\limits_0^x {\frac{1}{2}f\left( t \right)dt} }} > 2}$ (Πήρα όριο στο 0 για την $\displaystyle{f}$ και χρησιμοποίησα μονοτονία.)

Συνεπώς η $\displaystyle{f > 0}$ . Στο $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Rolle για την $\displaystyle{h\left( x \right) = - \frac{1}{{f\left( x \right)}} + \frac{x}{2}}$ από όπου προκύπτει άτοπο.

Άρα υπάρχει τέτοια ρίζα και συνεπώς το ζητούμενο έπεται

hsiodos · #4

Eukleidis έγραψε:Θα κάνω μια προσπάθεια, ελπίζω να μην είμαι λάθος.
Έστω $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} + f'\left( x \right)}$ με $\displaystyle{g\left( 0 \right) = 0}$ .
Αν υπάρχει άλλη μια ρίζα της $\displaystyle{g}$ στο εν λόγω διάστημα τελειώσαμε.

Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \ne 0,x \in \left( {0,1} \right]}$ .
Τότε η $\displaystyle{g}$ θα διατηρεί πρόσημο λόγω συνέχειας. Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{g > 0}$ .
Τότε $\displaystyle{f'\left( x \right) + \frac{{f\left( x \right)}}{2}f\left( x \right) > 0 \Rightarrow \left( {f\left( x \right){e^{\int\limits_0^x {\frac{1}{2}f\left( t \right)dt} }}} \right)' > 0}$
$\displaystyle{f\left( x \right){e^{\int\limits_0^x {\frac{1}{2}f\left( t \right)dt} }} > 2}$ (Πήρα όριο στο 0 για την $\displaystyle{f}$ και χρησιμοποίησα μονοτονία.)

Συνεπώς η $\displaystyle{f > 0}$ . Στο $\displaystyle{\left[ {0,1} \right]}$ ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Rolle για την $\displaystyle{h\left( x \right) = - \frac{1}{{f\left( x \right)}} + \frac{x}{2}}$ από όπου προκύπτει άτοπο.

Άρα υπάρχει τέτοια ρίζα και συνεπώς το ζητούμενο έπεται

Γιώργο ωραία αντιμετώπιση , καλύτερη από την δική μου. Βέβαια η παραγώγιση ολοκληρώματος είναι πια εκτός ύλης αλλά μπορούμε να το αποφύγουμε με τρίπλα! Ευχαριστώ.

#5

ασκηση 5Δ4 σελ 123 εδώ

Υπάρχει c

Υπάρχει c

Re: Υπάρχει c

Re: Υπάρχει c

Re: Υπάρχει c

Re: Υπάρχει c

Μέλη σε σύνδεση