Με αρχική!

#1

Υπάρχει συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ που έχει αρχική και f(f(x))=-x^3

για κάθε $x\in \Bbb{R};$

Grigoris K. · #2

Edit: Η παραπάνω προσέγγιση είναι λανθασμένη. Δείτε παρακάτω για τη διόρθωση του Θανάση (socrates).
Να ευχαριστήσω τους Garfield, Θανάση καθώς και τον κ. Χρήστο Κυριαζή για την επισήμανση του λάθους.

Garfield · #3

Grigoris K. έγραψε: Η $\displaystyle{ f }$ πρέπει να είναι συνεχής.

Επειδή η $\displaystyle{f}$ έχει αρχική ξέρουμε ότι σίγουρα θα έχει την ιδιότητα των ενδιαμέσων τιμών( Θ.Darboux). Γιατί όμως να είναι απαρραίτητα συνεχής ;

Υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες έχουν αρχική χώρις όμως να είναι συνεχής.

Παράδειγμα: Παίρνουμε $\displaystyle{ f= F' }$ όπου

$F(x)=\begin{cases}\ x^{2} \sin \frac{1}{x},\ \ x \neq 0 \\[0.3cm]\\ \ 0, \ \ x=0\end{cases}$

τότε

$f(x)=\begin{cases}\ 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x},\ \ x \neq 0 \\[0.3cm]\\ \ 0, \ \ x=0\end{cases}$

Προφανώς η

είναι ασυνεχής στο $\displaystyle{ x_{0} =0 }$ .

Χάνω κάπου....;

#4

Σωστά Garfield.

Η λύση όμως διορθώνεται αν πούμε:
Η

είναι 1-1 και Darboux, άρα μονότονη....

#5

socrates έγραψε:Υπάρχει συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ που έχει αρχική και για κάθε $x\in \Bbb{R};$

Δείτε viewtopic.php?f=52&t=2985

Φιλικά,

Αχιλλέας

Με αρχική!

Με αρχική!

Re: Με αρχική!

Re: Με αρχική!

Re: Με αρχική!

Re: Με αρχική!

Μέλη σε σύνδεση