Κυρτή και ολοκλήρωμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Αλλη μια κυρτή με ωραία ιδιότητα...
Ασκηση Έστω $f:[0,2\pi ]\rightarrow R$ κυρτή συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι για κάθε κ $\geq 1$ , ισχύει $\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{f(x)cos(kx)}dx\geq 0$ .

Καλό βράδυ!

papel · #2

Λιγες πραξεις .Η υπο ολοκληρωση ποσοτητα στο τελος ειναι μεγαλυτερη και ιση του 0 (?). (qed που δεν σημαινει Quantum Electrodynamics)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Καλημέρα εξυπνη λύση Papel.το μονο σημείο που με προβληματιζει είναι ότι θεωρεις δεδομένο ότι η f είναι 2 φορες παραγωγισιμη στο [0,2π] με f''(x)>=0 κάτι που από την υπόθεση της άσκησης δεν προκύπτει.

pito · #4

Επαναφορά για να λυθεί χωρίς χρήση της

ως 2 φορές παραγωγίσιμη.

#5

pito έγραψε:Επαναφορά για να λυθεί....

Αν γνωρίζαμε και τι καπνό φουμάρει το

όλα θα ήταν πιό ωραία...
(Εννοώ πραγματικός, ακέραιος κτλ...)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Το

είναι φυσικός.

Ισχύει για κάθε κυρτή συνάρτηση (ας μην παραγωγίζεται σε κάποια σημεία)
Θα γράψω το πρώτο βήμα.
Θέτοντας y=kx

θα πρέπει να δείξουμε οτι

$\int_{0}^{2k\pi }f(\frac{y}{k})\cos ydy\geq 0$

σπάζοντας το διάστημα σε διαστήματα μήκους $2\pi$ και κάνοντας αλλαγή μεταβλητής μεταφέρουμε τα ολοκληρώματα
στο $[0,2\pi ]$

και επειδή η $f(\frac{t+2n\pi }{k})$
παραμένει κυρτή αρκεί
να το δείξουμε για k=1

Tolaso J Kos · #7

Παρόμοια εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Στην λύση του Θάνου αρκεί να εφαρμόσουμε το Θεώρημα των τριών χορδών
ελαφρά τροποποιημένο.
Η λύση του Θάνου βρίσκεται στην παραπομπή του Τόλη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Για κυρτές συναρτήσεις δες:
https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
Τρεις χορδές
Μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα είναι κυρτή αν και μόνο εάν
για κάθε x< y< z

του πεδίου ορισμού της ισχύει

$\frac{f(z)-f(y)}{z-y}\geq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\geq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$

Εύκολα προκύπτει ότι αν η

είναι κυρτή
και x< y< z< w

τότε $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(w)-f(z)}{w-z}$

Η συνάρτηση του Θάνου είναι
$g(x)=f(2\pi -x)-f(\pi +x)-f(\pi -x)+f(x)$

Επειδή $0< x< \frac{\pi }{2}$ εφαρμόζοντας το προηγούμενο έχουμε

$\frac{f(2\pi -x)-f(\pi +x)}{(2\pi -x)-(\pi -x)}\geqslant \frac{f(\pi -x)-f(x)}{(\pi -x)-x}$

από όπου προκύπτει ότι $g(x)\geq 0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Συνεχίζω(δεν έχω καλο internet και φοβάμαι μην τα χάσω)

Για κυρτές συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα ισχύει ;
Εχουν παράγωγο εκτός πιθανόν ενός αριθμησίμου συνόλου .
Η παράγωγος είναι αύξουσα.

Ισχύει ότι κάθε αύξουσα συνάρτηση έχει παράγωγο εκτός ενός συνόλου μέτρου μηδέν.
Αρα κάθε κυρτή ορισμένη σε διάστημα έχει δεύτερη παράγωγο εκτός ενός συνόλου μέτρου μηδέν.

Αν θεωρήσουμε την $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ συνάρτηση του Cantor
δες
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function
και θέσουμε $F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$
αυτή είναι μία κυρτή συνάρτηση που εχει δεύτερη παράγωγο μηδέν εκτός του συνόλου
Cantor όπου δεν έχει δεύτερη παράγωγο.

Κυρτή και ολοκλήρωμα

Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Re: Κυρτή και ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση