Είναι η $f\circ x$ ομοιόμορφα συνεχής?

ericos · #1

Πρώτο ποστ άρα ελπίζω να μην παραβιάζω κανέναν κανόνα και να δουλέψει το MathJax. Προετοιμάζομαι για πρώτο έτος πανεπιστήμιο και βρήκα αυτή την άσκηση που με δυσκολεύει αρκετά.

Έστω $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ τ.ω: για κάθε ακολουθία Cauchy $x:\mathbb{N}\to (0,1)$ είναι η $f\circ x$ επίσης ακολουθία Cauchy.

Έχει δύο υποερωτήματα:

(a) Είναι η

συνεχής?

(b) Είναι η

ομοιόμορφα συνεχής?

----

Για την (a) είπα έστω $c\in (0,1): x_n\to c \implies \exists L\in \mathbb{R} : f(x_n)\to L$ .

Και πρέπει νδο το όριο

ισούται με f(x_n)

.

Έστω $L\neq f(c) \implies \exists \varepsilon >0: |f(c)-L|\geq \varepsilon$ .

Διότι (f(x_n))

Cauchy $\exists N : \forall m,n\geq N$ ισχύει $|f(x_n)-f(x_m)|\leq \frac{\varepsilon}{2}$ .

Επειδή $x_n\to c$ , $\exists M :\forall n\geq M:|x_n-c|\leq \delta$ . Για $n\max(N,M)$ έχουμε $|f(x_n) - f(c)| < \frac{\varepsilon}{2}$

και $|f(c) - L| \geq \varepsilon$ .

Άρα $|f(x_n) - L| \leq |f(x_n) - f(c)| + |f(c) - L| < \frac{\epsilon}{2} + \varepsilon = \frac{3\varepsilon}{2}$ άτοπο.

Άρα $f(x_n)\to f(c)$ .

Κάπως έτσι βγαίνει ή όχι?

Για το (b) ακόμα δε μου έχει έρθει κάποια ιδέα καθώς και εξακολουθώ να αναρωτιέμαι αν βγαίνει έτσι το (a). Δεν έχω δει κάποια παρόμοια άσκηση άρα δεν ξέρω καθόλου.

#2

ericos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 30, 2024 5:24 pm
Πρώτο ποστ άρα ελπίζω να μην παραβιάζω κανέναν κανόνα και να δουλέψει το MathJax. Προετοιμάζομαι για πρώτο έτος πανεπιστήμιο και βρήκα αυτή την άσκηση που με δυσκολεύει αρκετά.

Έστω $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ τ.ω: για κάθε ακολουθία Cauchy $x:\mathbb{N}\to (0,1)$ είναι η $f\circ x$ επίσης ακολουθία Cauchy.

Έχει δύο υποερωτήματα:

(a) Είναι η συνεχής?

(b) Είναι η ομοιόμορφα συνεχής?

----

Για την (a) είπα έστω $c\in (0,1): x_n\to c \implies \exists L\in \mathbb{R} : f(x_n)\to L$ .

Και πρέπει νδο το όριο ισούται με . (1)

Έστω $L\neq f(c) \implies \exists \varepsilon >0: |f(c)-L|\geq \varepsilon$ . (2A)

Διότι Cauchy $\exists N : \forall m,n\geq N$ ισχύει $|f(x_n)-f(x_m)|\leq \frac{\varepsilon}{2}$ . (3A)

Επειδή $x_n\to c$ , $\exists M :\forall n\geq M:|x_n-c|\leq \delta$ . Για $n\max(N,M)$ έχουμε $|f(x_n) - f(c)| < \frac{\varepsilon}{2}$ (3B)

και $|f(c) - L| \geq \varepsilon$ .

Άρα $|f(x_n) - L| \leq |f(x_n) - f(c)| + |f(c) - L| < \frac{\epsilon}{2} + \varepsilon = \frac{3\varepsilon}{2}$ άτοπο. (2Β)

Άρα $f(x_n)\to f(c)$ .

Κάπως έτσι βγαίνει ή όχι?

Για το (b) ακόμα δε μου έχει έρθει κάποια ιδέα καθώς και εξακολουθώ να αναρωτιέμαι αν βγαίνει έτσι το (a). Δεν έχω δει κάποια παρόμοια άσκηση άρα δεν ξέρω καθόλου.

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Η λύση σου έχει πολλά λάθη που δείχνουν ότι πρέπει ακόμη να ξεκαθαρίσεις τις έννοιες.

Ας αρχίσω με ένα δευτερεύον τυπογραφικό σφάλμα: Στο (1) που σημείωσα παραπάμνω πρέπει να γράψεις f(c)

αντί του

.

Επί της ουσίας τώρα: Από την (3Α) στην (3Β) πώς δικαιολογείς ότι η ανισότητα έγινε γνήσια;

Ποιο ουσιαστικό είναι το σφάλμα από το (2Α) στο (2Β). Συγκεκριμένα, η ανισότητα στο (2Α) είναι " $\ge$ " αλλά στην (2Β) την χρησιμοποίησες ως "<".

Yπάρχουν και μερικές παρανοήσεις που είναι δύσκολο να τις εξηγήσω στο πληκτρολόγιο.

ericos · #3

Έχετε δίκιο. Όταν πάω σε ασκήσεις στις οποίες δεν έχω να πατήσω σε κάποια εφαρμογή γίνονται τέτοιες χαζομάρες αλλά όντως αυτό πάει και πέρα από τις χαζομάρες μου επειδή δεν είμαι εντελώς στη θέση να τη λύσω. Αν κάποιος μπορεί να γράψει ένα "σκίτσο" απόδειξης θα το εκτιμούσα ή από κάπου να ξεκινήσω. Ή υπάρχει κάποια σωστή ιδέα ανάμεσα στα λάθη?

#4

ericos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 30, 2024 6:06 pm
Έχετε δίκιο. Όταν πάω σε ασκήσεις στις οποίες δεν έχω να πατήσω σε κάποια εφαρμογή γίνονται τέτοιες χαζομάρες αλλά όντως αυτό πάει και πέρα από τις χαζομάρες μου επειδή δεν είμαι εντελώς στη θέση να τη λύσω. Αν κάποιος μπορεί να γράψει ένα "σκίτσο" απόδειξης θα το εκτιμούσα ή από κάπου να ξεκινήσω. Ή υπάρχει κάποια σωστή ιδέα ανάμεσα στα λάθη?

Τα λάθη πάντα συγχωρούνται. Συγχωρούνται ακόμη περισσότερο όταν προέρχονται από κάποιον ο οποίος είναι ακόμη στην διαδικασία μάθησης. Ευχόμαστε να ξεκαθαρίσεις τα παραπάνω όταν θα τα ακούσεις από Δάσκαλο στην Σχολή που μπήκες.

Ως υπόδειξη, θα αρχίσω με μία μικρή: Εφόσον οι ακολουθίες Cauchy συγκλίνουν, και αντίστροφα, μπορείς να ασχοληθείς με συγκλίνουσες ακολουθίες. Θέλω να πω ότι η υπόθεση της άσκησης μεταφράζεται ισοδύναμα σε "για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (x_n)

του

, η

συγκλίνει".

Και μία ακόμη συμβουλή: Θα σου συνιστούσα να βελτιώσεις το γράψιμό σου. Η πρόταση που κοκκίνισα είναι απίστευτα ασύντακτη, χωρίς σημεία στίξης. Αυτά δεν πρέπει να μένουν έτσι. Τα Μαθηματικά απαιτούν καθαρή σκέψη και ακριβολογία. Αυτό συμπεριλαμβάνει την διατύπωση και την καταγραφή των σκέψεων.

Είναι η $f\circ x$ ομοιόμορφα συνεχής?

Είναι η $f\circ x$ ομοιόμορφα συνεχής?

Re: Είναι η $f\circ x$ ομοιόμορφα συνεχής?

Re: Είναι η $f\circ x$ ομοιόμορφα συνεχής?

Re: Είναι η $f\circ x$ ομοιόμορφα συνεχής?

Μέλη σε σύνδεση