Ελάχιστη απόσταση γραφημάτων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται οι παραγωγίσημες συναρτήσεις

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

$g:[c,d]\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε
$C_{f}\cap C_{g}= \o$

1)Να δειχθεί ότι υπάρχουν
$t \in [a.b],s\in [c,d]$
ωστε η απόσταση των (t,f(t),(s,g(s))

είναι η ελάχιστη απόσταση
μεταξύ των $C_{f},C_{g}$ .
2)Αν $t\in (a,b)$ και $s\in (c,d)$
τότε οι εφαπτομένες στα (t,f(t),(s,g(s))

είναι παράλληλες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Το 2)
είναι λυμένο στο
viewtopic.php?f=11&t=66861
Η λύση του Ευάγγελου άμεσα τροποποιείται για γραφήματα συναρτήσεων
και μάλιστα είναι σχολική.
Αν θέλει κάποιος την γράφει.
Το 1) επαναφορά.

Al.Koutsouridis · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 10:17 pm
Δίνονται οι παραγωγίσημες συναρτήσεις

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

$g:[c,d]\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε
$C_{f}\cap C_{g}= \o$

1)Να δειχθεί ότι υπάρχουν
$t \in [a.b],s\in [c,d]$
ωστε η απόσταση των είναι η ελάχιστη απόσταση
μεταξύ των $C_{f},C_{g}$ .

Μπορούμε να πούμε κάτι τέτοιο; Θεωρούμε το ορθογώνιο $\displaystyle{D= [a,b] \times [c,d]}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ και την συνάρτηση απόστασης $\displaystyle{d(x,y)=(x-y)^2+\left ( f(x)-g(y) \right)^2}$ , με $(x,y) \in D$ , που είναι συνεχής. To

είναι συμπαγές άρα υπάρχει σημείο $(t,s) \in D$ στο οποίο η d(x,y)

λαμβάνει ελάχιστη τιμή. Η προβολή του (t,s)

στα διαστήματα [a.b]

και

δίνει τα ζητούμενα

και

.

Edit: Εγινε διόρθωση τυπογραφικού, βλέπε επόμενη ανάρτηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2020 11:09 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 10:17 pm
Δίνονται οι παραγωγίσημες συναρτήσεις

$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

$g:[c,d]\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε
$C_{f}\cap C_{g}= \o$

1)Να δειχθεί ότι υπάρχουν
$t \in [a.b],s\in [c,d]$
ωστε η απόσταση των είναι η ελάχιστη απόσταση
μεταξύ των $C_{f},C_{g}$ .

Μπορούμε να πούμε κάτι τέτοιο; Θεωρούμε το ορθογώνιο $\displaystyle{D= [a,b] \times [c,d]}$ του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$ και την συνάρτηση απόστασης # $\displaystyle{d(x,y)=(x-y)^2+\left ( f(x)-g(y) \right)^2}$ #, με $(x,y) \in D$ , που είναι συνεχής. To είναι συμπαγές άρα υπάρχει σημείο $(t,s) \in D$ στο οποίο η λαμβάνει ελάχιστη τιμή. Η προβολή του στα διαστήματα και δίνει τα ζητούμενα και .

Φυσικά και μπορούμε να πούμε κάτι τέτοιο.
Και φοβάμαι ότι είναι το μοναδικό.
Ο γνωστός δαίμων πάλι μπλέχτηκε.
Στην παράθεση εντός μπλε είναι η διόρθωση .

Ελάχιστη απόσταση γραφημάτων

Ελάχιστη απόσταση γραφημάτων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφημάτων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφημάτων

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφημάτων

Μέλη σε σύνδεση