Άθροισμα κυβικών ριζών

Tolaso J Kos · #1

Αν

οι ρίζες της εξίσωσης x^3+3x^2-24x+1=0

, να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{A} = \sqrt[3]{x_1} + \sqrt[3]{x_2} + \sqrt[3]{x_3}}$

mick7 · #2

ksofsa · #3

Καλησπέρα.

Θέτω $a=\sqrt[3]{x_{1}},b=\sqrt[3]{x_{2}},c=\sqrt[3]{x_{3}}$ .

Από τους τύπους Vieta, $a^3+b^3+c^3=-3,abc=-1\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$ .

Με βάση τη γνωστή ταυτότητα του Euler, θα είναι:

a+b+c=0

ή

.

Η δεύτερη περίπτωση αποκλείεται διότι τότε a=b=c=-1

, άτοπο, διότι από τους τύπους του Vieta για την εξίσωση θα έπρεπε a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=-24

, που δεν ισχύει.

Τελικά, a+b+c=0

.

ksofsa · #4

Λίγο διαφορετικά:

Για i=1,2,3

:

$(x_{i}+1)^3=27x_{i}\Rightarrow x_{i}+1=3\sqrt[3]{x_{i}}\Rightarrow \sum x_{i}+3=3\sum \sqrt[3]{x_{i}}\Rightarrow \sum \sqrt[3]{x_{i}}=0$ ,

διότι $\sum x_{i}=-3$ .

Άθροισμα κυβικών ριζών

Άθροισμα κυβικών ριζών

Re: Άθροισμα κυβικών ριζών

Re: Άθροισμα κυβικών ριζών

Re: Άθροισμα κυβικών ριζών

Μέλη σε σύνδεση