Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Συντονιστής: nsmavrogiannis
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4456
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Με αφορμή αυτό , αυτό και αυτό
Για να αποδειχθεί ότι οι και είναι αντίστροφοι αν και μόνο αν οι και είναι αντίθετοι.
Για να αποδειχθεί ότι οι και είναι αντίστροφοι αν και μόνο αν οι και είναι αντίθετοι.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Το αντίστροφο είναι εύκολο.nsmavrogiannis έγραψε: ↑Δευ Μαρ 06, 2023 12:42 amΓια να αποδειχθεί ότι οι και είναι αντίστροφοι αν και μόνο αν οι και είναι αντίθετοι.
Με την υπόθεση ότι οι αριθμοί είναι αντίστροφοι....
Έστω η συνάρτηση , η οποία είναι θετική, γνησίως αύξουσα και
Ισχύουν
Θέτοντας και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις έχουμε:
Αφού θετικοί θα είναι: και έτσι από την έχουμε .
Άρα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Θα χρησιμοποιήσουμε τις επόμενες σχέσεις, για το υπερβολικό ημίτονο
το υπερβολικό συνημίτονο και την υπερβολική εφαπτόμενη
, , ,
, ,
, , για κάθε
H συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το . Θέτουμε και
.
Άρα
Είναι
, αδύνατο.
το υπερβολικό συνημίτονο και την υπερβολική εφαπτόμενη
, , ,
, ,
, , για κάθε
H συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το . Θέτουμε και
.
Άρα
Είναι
, αδύνατο.
Στράτης Αντωνέας
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4456
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Γεια σας
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Ενδιαφέρον είναι ότι υπερβολικές συναρτήσεις που πρωταγωνιστούν στην λύση του Στράτη υπάρχουν αφανείς και στην πρώτη λύση του συναδέλφου abgd αφού με και η είναι το υπερβολικό ημίτονο.
Η δική μου "brute force" λύση υπολείπεται σε συντομία και κομψότητα και την αναφέρω συνοπτικά:
Αν ονομάσουμε θά έχουμε το σύστημα:
Λύνοντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος ως προς βρίσκουμε
και αντικαθιστώντας στην δεύτερη βρίσκουμε τελικά όπου
Εϋκολα βρίσκουμε ότι το διαιρεί το και επομένως ή θα είναι είτε όπου είναι το πηλίκο της διαίρεσης δηλαδή το . Είναι επομένως και . Αντικαθιστώντας στην βρίσκουμε τελικά ότι (αδύνατη) ή . Η τελευταία δίνει και . Από αυτές με εύκολη πορεία μέσω περιπτώσεων καταλήγουμε στο αποδεικτέο.
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Ενδιαφέρον είναι ότι υπερβολικές συναρτήσεις που πρωταγωνιστούν στην λύση του Στράτη υπάρχουν αφανείς και στην πρώτη λύση του συναδέλφου abgd αφού με και η είναι το υπερβολικό ημίτονο.
Η δική μου "brute force" λύση υπολείπεται σε συντομία και κομψότητα και την αναφέρω συνοπτικά:
Αν ονομάσουμε θά έχουμε το σύστημα:
Λύνοντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος ως προς βρίσκουμε
και αντικαθιστώντας στην δεύτερη βρίσκουμε τελικά όπου
Εϋκολα βρίσκουμε ότι το διαιρεί το και επομένως ή θα είναι είτε όπου είναι το πηλίκο της διαίρεσης δηλαδή το . Είναι επομένως και . Αντικαθιστώντας στην βρίσκουμε τελικά ότι (αδύνατη) ή . Η τελευταία δίνει και . Από αυτές με εύκολη πορεία μέσω περιπτώσεων καταλήγουμε στο αποδεικτέο.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Δημοσιεύσεις: 3601
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Αν ηnsmavrogiannis έγραψε: ↑Δευ Μαρ 13, 2023 1:22 amΓεια σας
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Ενδιαφέρον είναι ότι υπερβολικές συναρτήσεις που πρωταγωνιστούν στην λύση του Στράτη υπάρχουν αφανείς και στην πρώτη λύση του συναδέλφου abgd αφού με και η είναι το υπερβολικό ημίτονο.
Η δική μου "brute force" λύση υπολείπεται σε συντομία και κομψότητα και την αναφέρω συνοπτικά:
Αν ονομάσουμε θά έχουμε το σύστημα:
Λύνοντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος ως προς βρίσκουμε
και αντικαθιστώντας στην δεύτερη βρίσκουμε τελικά όπου
Εϋκολα βρίσκουμε ότι το διαιρεί το και επομένως ή θα είναι είτε όπου είναι το πηλίκο της διαίρεσης δηλαδή το . Είναι επομένως και . Αντικαθιστώντας στην βρίσκουμε τελικά ότι (αδύνατη) ή . Η τελευταία δίνει και . Από αυτές με εύκολη πορεία μέσω περιπτώσεων καταλήγουμε στο αποδεικτέο.
γραφεί
τότε η απόδειξη δίνει το ζητούμενο σε κάθε σώμα.(Θα πρέπει επιπλέον να υποθέσουμε ότι οι ρίζες ανήκουν στο σώμα)
Είναι λοιπόν πολύ γενικότερη από τις δύο παραπάνω αποδείξεις οι οποίες χρησιμοποιούν
σαν σώμα το
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4456
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστοφοι & Αντίθετοι
Σταύρο πράγματι το θέμα μπορεί να εξεταστεί σε γενικότερο πλαίσιο. Από την στιγμή που υποτεθεί ότι δουλεύουμε σε ένα σώμα και για τα στΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Μαρ 14, 2023 1:35 pm
Αν η
γραφεί
τότε η απόδειξη δίνει το ζητούμενο σε κάθε σώμα.(Θα πρέπει επιπλέον να υποθέσουμε ότι οι ρίζες ανήκουν στο σώμα)
Είναι λοιπόν πολύ γενικότερη από τις δύο παραπάνω αποδείξεις οι οποίες χρησιμοποιούν
σαν σώμα το
οιχεία του έχουμε σε μία επάκταση του τις ρίζες των , όλη η εργασία μπορεί να διεκπεραιωθεί στο . Οι παραγοντοποιήσεις των πολυωνύμων είναι ρητές στο και δεν χρησιμοποιείται καθόλου η διάταξη. Είναι χαρακτηριστικό ότι όταν ζητήσουμε από το Maple να λύσει το σύστημα δίνοντας:
>with(SolveTools);
>PolynomialSystem({(m-b)*(b+m)-1, (a+m)*(b+m) = 1, (n-a)*(n+a) = 1}, {a, b, m});
έχουμε απόκριση:
{a = RootOf(_Z^2-n^2+1), b = -RootOf(_Z^2-n^2+1), m = n}, {a = RootOf(_Z^2-n^2+1), b = -RootOf(_Z^2-n^2+1), m = -n}
που εξασφαλίζει ότι τα είναι αντίθετες ρίζες του .
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης