Μετρικοί Χώροι , Συνέχεια

Συντονιστής: spyros

TrItOs
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τρί Ιουν 09, 2015 6:50 pm

Μετρικοί Χώροι , Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TrItOs » Τετ Ιουν 17, 2020 4:49 pm

Έστω οι μετρικοί χώροι  \big( \mathbb{X} , d \big) και  \big( \mathbb{Y} , r  \big)
και συνάρτηση   f : \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{Y} . Τότε
αν κάθε κλειστό σύνολο  C \subseteq \mathbb{Y} τότε το σύνολο  f^{-1} (C) \subseteq \mathbb{X} είναι κλειστό
 \Rightarrow η  f είναι συνεχής στο  \mathbb{X}



Λέξεις Κλειδιά:
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Μετρικοί Χώροι , Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Τετ Ιουν 17, 2020 6:34 pm

Αυτό είναι ισοδύναμο με τον ορισμό που χρησιμοποιεί ανοικτά. Είναι κλασική πρόταση και σε κάθε βιβλίο ανάλυσης θα το βρεις.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μετρικοί Χώροι , Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Ιουν 18, 2020 2:49 am

Εδώ μπορούμε να πούμε ότι η πρόταση αυτή ισχύει και σε τοπολογικούς χώρους(όχι μόνο μετρικούς χώρους).
Συνήθως ο ορισμός της συνέχειας σε τοπολογικούς χώρους είναι αυτη η πρόταση.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να ορίσεις τη συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους.
Ένας από αυτούς και νομίζω ο πιο εύστοχος είναι να την ορίσεις τοπικά ενός σημείου χρησιμοποιώντας περιοχές ενός σημείου.
Αν οριστεί έτσι η συνέχεια τότε μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση που ρώτησες.
Ο ορισμός της συνέχειας που προτιμώ είναι ο εξής:
Η f είναι συνεχής στο x_0 ανν για κάθε V περιοχή του f(x_0) υπάρχει U περιοχή του x_0 ώστε f(U) \subseteq V.
Εδώ ορίζουμε το V να είναι περιοχή ενός σημείου x όταν x \in V^{o}, όπου V^{o} είναι το εσωτερικό του V.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά Μηνύματα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης