Επίλυση άσκησης

[abcd1]

Να αποδειξετε πως ο παρακατω αριθμός είναι άρρητος


(η ρίζα περιλαμβάνει ολόκληρο τον αριθμό από το 1 μέχρι το 2012)

Πως μπορεί να λυθεί η συγκεκριμένη άσκηση;;;

[Mihalis_Lambrou]

Να αποδειξετε πως ο παρακατω αριθμός είναι άρρητος


(η ρίζα περιλαμβάνει ολόκληρο τον αριθμό από το 1 μέχρι το 2012)

Πως μπορεί να λυθεί η συγκεκριμένη άσκηση;;;

Υπόδειξη: Τα τέλεια τετράγωνα είναι είτε της μορφής είτε της .

Συνέχισε.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ τόσο την απόδειξη του παραπάνω όσο την χρήση του για να λυθεί η άσκηση.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι επίλυσης, αλλά ο παραπάνω είναι μάλλον ο ευκολότερος.

[abcd1]

Να αποδειξετε πως ο παρακατω αριθμός είναι άρρητος


(η ρίζα περιλαμβάνει ολόκληρο τον αριθμό από το 1 μέχρι το 2012)

Πως μπορεί να λυθεί η συγκεκριμένη άσκηση;;;

Υπόδειξη: Τα τέλεια τετράγωνα είναι είτε της μορφής είτε της .

Συνέχισε.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ τόσο την απόδειξη του παραπάνω όσο την χρήση του για να λυθεί η άσκηση.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι επίλυσης, αλλά ο παραπάνω είναι μάλλον ο ευκολότερος.

Σασ ευχαριστώ πάρα πολύ !!! Εγώ βρήκα έναν άλλο τρόπο λύσης. Χρησιμοποίησα την απαγωγή σε άτοπο. Έγραψα το τετράγωνο της ρίζας δηλαδή τον αριθμό χωρίς την ρίζα με τη μορφή
και μετά βρήκα κοινό διαιρέτη στο β και το γ με αποτέλεσμα το κλάσμα να μην είναι ανάγωγο άρα ο αριθμός α να μην είναι ρητός

[Mihalis_Lambrou]

Σασ ευχαριστώ πάρα πολύ !!! Εγώ βρήκα έναν άλλο τρόπο λύσης. Χρησιμοποίησα την απαγωγή σε άτοπο. Έγραψα το τετράγωνο της ρίζας δηλαδή τον αριθμό χωρίς την ρίζα με τη μορφή
και μετά βρήκα κοινό διαιρέτη στο β και το γ με αποτέλεσμα το κλάσμα να μην είναι ανάγωγο άρα ο αριθμός α να μην είναι ρητός

Eίναι πάρα πολύ ασαφή αυτά που γράφεις. Αν θέλεις να σου πούμε αν η μέθοδός σου είναι σωστή, καλό είναι να γράψεις και κάτι ως προς την απόδειξη. Και για να σου πω την αλήθεια δεν πιστεύω ότι η μέθοδός σου είναι σωστή (μακάρι να κάνω λάθος) γιατί τα β και γ δεν τα γνωρίζεις, οπότε πώς έβγαλες κοινό διαιρέτη; Η λογική της μεθόδου σου με ξενίζει.

[abcd1]

Δικιο έχετε . Εντόπισα ένα λάθος. Ευχαριστώ παντως για την δευτερη σκεψη

[Mihalis_Lambrou]

Δικιο έχετε . Εντόπισα ένα λάθος. Ευχαριστώ παντως για την δευτερη σκεψη

Kανένα πρόβλημα. Κοίτα τώρα την υπόδειξη που σου έγραψα στο πρώτο μου ποστ, και προσπάθησε να λύσεις την άσκηση,

[abcd1]

Δικιο έχετε . Εντόπισα ένα λάθος. Ευχαριστώ παντως για την δευτερη σκεψη

Kανένα πρόβλημα. Κοίτα τώρα την υπόδειξη που σου έγραψα στο πρώτο μου ποστ, και προσπάθησε να λύσεις την άσκηση,

1ος τρόπος
Ας υπολογίσουμε το τελευταίο ψηφίο της υποριζης ποσοστητας.
1•2•3•...•2011= 2ν
Άρα ο αριθμός για να διαιρείται με το 2 θα πρέπει να έχει ως τελευταίο ψηφίο του το 0,2,4,6 ή 8.
Επίσης :
1•2•3•...•2011= 5κ
Άρα ο αριθμός για να διαιρείται με το 5 θα πρέπει να έχει ως τελευταίο ψηφίο του το 0 ή το 5
Άρα ο αριθμός 1•2•3•...•2011 για να διαιρείται και με το 5 και με το 2 θα πρέπει να τελειώνει σε 0.
Άρα η υποριζη ποσότητα έχει ως τελευταίο ψηφίο τον αριθμό 0+2 (από το 2012) = 2.
Ένα τέλειο τετράγωνο τελειώνει σε 0,1,4,5,6 ή 9
Επομένως δεν είναι τέλειο τετράγωνο άρα ο α είναι αρρητος
2ος τρόπος
Η υποριζη ποσότητα του α μπορεί να γραφτεί ως
2011! +2012
Το παραγοντικο φυσικού αριθμου μεγαλυτερου η ίσου του 5 τελειώνει παντα σε 0
Άρα η υποριζη ποσότητα έχει ως τελευταίο ψηφίο τον αριθμό 0+2 (από το 2012) = 2.
Ένα τέλειο τετράγωνο τελειώνει σε 0,1,4,5,6 ή 9
Επομένως δεν είναι τέλειο τετράγωνο άρα ο α είναι αρρητος
3ος τρόπος
1•2•3•...•2011+2012=
=3κ + 3•670+2 = με
=3(κ+670) +2
Επομένως η υποριζη πσοστητα δεν είναι τέλειο τετράγωνο καθώς τα τέλεια τετράγωνα έχουνε τη μορφή 3ν ή 3ν +1
Άρα ο α είναι αρρητος
Ισχύουν οι πάνω λύσεις;

[Mihalis_Lambrou]

Σωστές είναι οι αποδείξεις αλλά σπεύδω να επισημάνωn ότι οι δύο πρώτες είναι ουσιαστικά ίδιες. Και μάλιστα έχουν πολλά περιττά στοιχεία. Π.χ. ο γρήγορος τρόπος είναι να πούμε ότι αφού το έχει παράγοντα το (είναι ο δέκατος στην σειρά) είναι ΠΡΟΦΑΝΕΣ ότι το γινόμενο τελειώνει σε . Κάθε άλλος συλλογισμός κάνει τα εύκολα δύσκολα.

Και ένα τελευταίο: Καλό είναι να γράφεις σε Latex, όπως άλλωστε και πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας.

[abcd1]

Σωστές είναι οι αποδείξεις αλλά σπεύδω να επισημάνωn ότι οι δύο πρώτες είναι ουσιαστικά ίδιες. Και μάλιστα έχουν πολλά περιττά στοιχεία. Π.χ. ο γρήγορος τρόπος είναι να πούμε ότι αφού το έχει παράγοντα το (είναι ο δέκατος στην σειρά) είναι ΠΡΟΦΑΝΕΣ ότι το γινόμενο τελειώνει σε . Κάθε άλλος συλλογισμός κάνει τα εύκολα δύσκολα.

Και ένα τελευταίο: Καλό είναι να γράφεις σε Latex, όπως άλλωστε και πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας.

Η άσκηση είναι σχολική για αυτό την έχω κάνει πιο αναλυτική από ποτέ. Ευχαριστώ πολυ για τις επισημάνσεις!!!!

[Mihalis_Lambrou]

Η άσκηση είναι σχολική για αυτό την έχω κάνει πιο αναλυτική από ποτέ. Ευχαριστώ πολυ για τις επισημάνσεις!!!!

Ας διευκρινήσω ότι επί της ουσίας δεν υπάρχει πρόβλημα με τον συλλογισμό σου, αλλά με το παραπάνω σχόλιό σου κάπου σε χάνω.

Με λίγα λόγια λες ότι ο συλλογισμός σου (αντιγράφω) που λέει ότι ο αριθμός είναι άρτιος άρα λήγει σε και μετά λέει ότι είναι πολλαπλάσιο του άρα λήγει σε και άρα, τελικά, λήγει σε , είναι πιο σχολικός από το να πεις απευθείας ότι ο αριθμός έχει παράγοντα τον άρα λήγει σε ;

Δεν νομίζω!

Ακριβώς λοιπόν επειδή μας διαβάζουν μαθητές έγραψα τον απευθείας συλλογισμό με το για να μην νομίσει κανείς ότι η άσκηση θέλει αρκετά βήματα ενώ στην πραγματικότητα θέλει μόνο ένα, και απλό.

[abcd1]

Η άσκηση είναι σχολική για αυτό την έχω κάνει πιο αναλυτική από ποτέ. Ευχαριστώ πολυ για τις επισημάνσεις!!!!

Ας διευκρινήσω ότι επί της ουσίας δεν υπάρχει πρόβλημα με τον συλλογισμό σου, αλλά με το παραπάνω σχόλιό σου κάπου σε χάνω.

Με λίγα λόγια λες ότι ο συλλογισμός σου (αντιγράφω) που λέει ότι ο αριθμός είναι άρτιος άρα λήγει σε και μετά λέει ότι είναι πολλαπλάσιο του άρα λήγει σε και άρα, τελικά, λήγει σε , είναι πιο σχολικός από το να πεις απευθείας ότι ο αριθμός έχει παράγοντα τον άρα λήγει σε ;

Δεν νομίζω!

Ακριβώς λοιπόν επειδή μας διαβάζουν μαθητές έγραψα τον απευθείας συλλογισμό με το για να μην νομίσει κανείς ότι η άσκηση θέλει αρκετά βήματα ενώ στην πραγματικότητα θέλει μόνο ένα, και απλό.