Μαθηματική Ολυμπιάδα

TrItOs · #1

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό

το γινόμενο
$\big( 4 - \frac{2}{1} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{2} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{3} \big) \cdots \big( 4 - \frac{2}{n-1} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{n} \big)$
είναι ακέραιος .
Ποια είναι η ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση και πως επιλύεται ;

Tolaso J Kos · #2

TrItOs έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 11:35 pm
Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό το γινόμενο
$\big( 4 - \frac{2}{1} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{2} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{3} \big) \cdots \big( 4 - \frac{2}{n-1} \big) \cdot \big( 4 - \frac{2}{n} \big)$
είναι ακέραιος .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ας δούμε μια απόδειξη.

Το γινόμενο ισούται με

$\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\frac{2(2k-1)}{k}=2^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{n!}.}$

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{(2n)!=\left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)\left(2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)\right)=2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)n!,}$

οπότε

$\displaystyle{2^n \left(1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\right)=\frac{(2n)!}{n!}}$ .

Επομένως το αρχικό γινόμενο ισούται με

$\displaystyle{\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{2n}{n}\in \mathbb{Z}.}$

Μαθηματική Ολυμπιάδα

Μαθηματική Ολυμπιάδα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα

Μέλη σε σύνδεση