IMC 2020/1/1

#1

Έστω θετικός ακέραιος

. Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων)

οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η

αποτελείται από

γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$ .
(2) Η

έχει άρτιο πλήθος από

.
(3) Η

έχει άρτιο πλήθος από

.

Π.χ. για n=2

υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι aa,bb,cc,dd,cd

και

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος . Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η αποτελείται από γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$ .
(2) Η έχει άρτιο πλήθος από .
(3) Η έχει άρτιο πλήθος από .

Π.χ. για υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι και .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

DrStrange · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 1:34 pm

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος . Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η αποτελείται από γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$ .
(2) Η έχει άρτιο πλήθος από .
(3) Η έχει άρτιο πλήθος από .

Π.χ. για υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι και .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η απάντηση είναι $4^{n-1}+2^{n-1}$ και βγαίνει σύντομα και εύκολα αν κάποιος γνωρίζει ……..

Εγώ γνωρίζω αυτό:

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

DrStrange έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 2:15 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 1:34 pm

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος . Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η αποτελείται από γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$ .
(2) Η έχει άρτιο πλήθος από .
(3) Η έχει άρτιο πλήθος από .

Π.χ. για υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι και .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Η απάντηση είναι $4^{n-1}+2^{n-1}$ και βγαίνει σύντομα και εύκολα αν κάποιος γνωρίζει ……..

Εγώ γνωρίζω αυτό:

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

Σωστά τα γράφεις.
Το ίδιο που έκανα εγώ παραπάνω το κάνουν συνεχώς κάποιοι από τους επιμελητές.
Επειδή θεωρώ ότι αυτοί είναι οι θεματοφύλακες του κανονισμού και το κάνουν, το συμπέρασμα (για τα δικά μου δεδομένα)
είναι ότι είναι ''νόμιμο''.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 31, 2020 11:43 am
Έστω θετικός ακέραιος . Να υπολογιστεί το πλήθος των λέξεων (πεπερασμένο πλήθος γραμμάτων) οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

(1) Η αποτελείται από γράμματα, όλα από το αλφάβητο $\{a,b,c,d\}$ .
(2) Η έχει άρτιο πλήθος από .
(3) Η έχει άρτιο πλήθος από .

Π.χ. για υπάρχουν 6 τέτοιες λέξεις. Οι και .

Ας δώσω την λύση.
Εχουμε διατάξεις οπότε θα χρησιμοποιήσουμε εκθετική γεννήτρια.
Η μέθοδος είναι στάνταρ και υπάρχει σε όλα τα σοβαρά βιβλία συνδιαστικής.
Οι απαριθμητές για τα a,b

είναι
$\displaystyle 1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+.....=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
ενώ για τα c,d

$\displaystyle 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+....=e^{x}$

Η εκθετική γεννήτρια είναι

$\displaystyle (\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}(e^{x})^{2}=\frac{1}{4}(e^{4x}+1+2e^{2x})$

θέλουμε τον συντελεστή του

$\displaystyle \frac{x^{n}}{n!}$

που είναι

$\displaystyle \frac{1}{4}(\frac{4^{n}}{n!}+2\frac{2^n}{n!})=4^{n-1}+2^{n-1}$

IMC 2020/1/1

IMC 2020/1/1

Re: IMC 2020/1/1

Re: IMC 2020/1/1

Re: IMC 2020/1/1

Re: IMC 2020/1/1

Μέλη σε σύνδεση