Demetres έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 03, 2019 1:41 pm
Ορίζουμε την ακολουθία

με την ακόλουθη αναδρομική σχέση:

και

για

.
Να αποδειχθεί ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας είναι ακέραιοι.
Θα δουλέψουμε με τη γεννήτρια συνάρτηση

. Κάνουμε τις αντικαταστάσεις
με

και μετατρέπουμε την αναδρομική σχέση στη διαφορική εξίσωση
Δουλεύοντας με την

έχουμε

.
Η διαφορική εξίσωση ολοκληρώνεται σχετικά εύκολα στη λύση
Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι η σειρά Maclaurin

της

, πέρα από τους δύο πρώτους όρους, είναι ακέραια. Από το γεγονός ότι το τετράγωνό της είναι

και ο πρώτος όρος της

, εύκολα βλέπουμε ότι ο δεύτερος όρος της είναι

και οι υπόλοιποι όροι (για τους οποίους ισχύει

) πληρούν την αναδρομική συνθήκη

. Έτσι, είναι όλοι ακέραιοι.
Σημ.: Ανακάλυψα ότι η ακολουθία έχει όνομα, λέγονται αριθμοί Schröder (ξαδέρφια των αριθμών Catalan) και έχουν εφαρμογές στη συνδυαστική, μεταξύ των άλλων.