IMC 2019/1/2

#1

Ο τετραψήφιος αριθμός (έτος) YEAR

ονομάζεται πολύ καλός αν το σύστημα

$\displaystyle Y x + Ey + Az + Rw = Y$
$\displaystyle Rx + Y y + Ez + Aw = E$
$\displaystyle Ax + Ry + Y z + Ew = A$
$\displaystyle Ex + Ay + Rz + Y w = R$

των γραμμικών εξισώσεων στις μεταβλητές x,y,z

και

έχει τουλάχιστον δύο λύσεις. Να βρεθούν όλα τα πολύ καλά έτη του 21ου αιώνα. (Ο 21ος αιώνας ξεκινάει το 2001

και λήγει το 2100

.)

#2

Θέτουμε

$\displaystyle M = \begin{pmatrix} Y & E & A & R \\ R & Y & E & A \\ A & R & Y & E \\ E & A & R & Y \end{pmatrix}$

Για να έχει το σύστημα τουλάχιστον δύο λύσεις πρέπει $\det(M) = 0$ . Αν x^4 = 1

τότε το $\begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix}$ είναι ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή Y + xE + x^2A + x^3R

. Οπότε

$\displaystyle \det(M) = (Y+E+A+R)(Y+iE-A-iR)(Y-E+A-R)(Y-iE+A+iR)$

Αν λοιπόν $\det(M) = 0$ , και αφού $Y+E+A+R \ neq 0$ , πρέπει να ισχύει ένα από τα πιο κάτω:

(α) Y=A

και

(β)

(γ)

και

Το (γ) απορρίπτεται. Το (α) ισχύει μόνο για το έτος 2020

και το (β) για τα έτη 2002,2013,2024,2035,2046,2057,2068,2079

.

Στην περίπτωση (α) παρατηρούμε ότι η x=1,y=z=w=0

είναι λύση άρα το σύστημα θα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις. Στην περίπτωση (α) παρατηρούμε (*) ότι η $(x,y,z,w) = \frac{1}{a^2+4}(4-2a,a^2-4,4+2a,0)$ είναι λύση άρα το σύστημα πάλι θα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις.

Οπότε όλα τα πιο πάνω έτη είναι πολύ καλά.

(*) Έλπιζα να αποφύγω να λύσω το σύστημα αλλά τελικά δεν είδα κάποια προφανή λύση και πήγα με γραμμοπράξεις.

IMC 2019/1/2

IMC 2019/1/2

Re: IMC 2019/1/2

Μέλη σε σύνδεση