IMC 2019/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2019/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 03, 2019 1:33 pm

Ο τετραψήφιος αριθμός (έτος) YEAR ονομάζεται πολύ καλός αν το σύστημα

\displaystyle Y x + Ey + Az + Rw = Y
\displaystyle Rx + Y y + Ez + Aw = E
\displaystyle Ax + Ry + Y z + Ew = A
\displaystyle Ex + Ay + Rz + Y w = R

των γραμμικών εξισώσεων στις μεταβλητές x,y,z και w έχει τουλάχιστον δύο λύσεις. Να βρεθούν όλα τα πολύ καλά έτη του 21ου αιώνα. (Ο 21ος αιώνας ξεκινάει το 2001 και λήγει το 2100.)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2019/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Αύγ 04, 2019 10:57 am

Θέτουμε

\displaystyle  M = \begin{pmatrix} 
Y & E & A & R \\ 
R & Y & E & A \\ 
A & R & Y & E \\ 
E & A & R & Y 
\end{pmatrix}

Για να έχει το σύστημα τουλάχιστον δύο λύσεις πρέπει \det(M) = 0. Αν x^4 = 1 τότε το \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} είναι ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή Y + xE + x^2A + x^3R. Οπότε

\displaystyle  \det(M) = (Y+E+A+R)(Y+iE-A-iR)(Y-E+A-R)(Y-iE+A+iR)

Αν λοιπόν \det(M) = 0, και αφού Y+E+A+R \ neq 0, πρέπει να ισχύει ένα από τα πιο κάτω:

(α) Y=A και E=R
(β) Y+A = E+R
(γ) Y+A=0 και E=R

Το (γ) απορρίπτεται. Το (α) ισχύει μόνο για το έτος 2020 και το (β) για τα έτη 2002,2013,2024,2035,2046,2057,2068,2079.

Στην περίπτωση (α) παρατηρούμε ότι η x=1,y=z=w=0 είναι λύση άρα το σύστημα θα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις. Στην περίπτωση (α) παρατηρούμε (*) ότι η (x,y,z,w) = \frac{1}{a^2+4}(4-2a,a^2-4,4+2a,0) είναι λύση άρα το σύστημα πάλι θα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις.

Οπότε όλα τα πιο πάνω έτη είναι πολύ καλά.

(*) Έλπιζα να αποφύγω να λύσω το σύστημα αλλά τελικά δεν είδα κάποια προφανή λύση και πήγα με γραμμοπράξεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης