Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#1

Αν $0\le x\le \frac {\pi}{2}, \, 0\le y\le \frac {\pi}{2}$ και $\sin x + \sin y =1$ , να βρεθεί το σύνολο τιμών του x+y

.

#2

Τα βασικά βήματα μιας λύσης:

Αν $D=\big[0,\frac{\pi}{2}\big]\times\big[0,\frac{\pi}{2}\big]$ , αρκεί να βρεθούν τα σημεία στα οποία η συνάρτηση $f:D\subset{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,;\; f(x,y)=x+y$ , υπό την συνθήκη $\sin{x}+\sin{y}=1$ , παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο. Επειδή το

είναι συμπαγές, η

συνεχής και $f(D)\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\;\sin{x}+\sin{y}=1\}\neq\varnothing$ , αυτά τα ολικά ακρότατα υπάρχουν.
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, στο ανοικτό σύνολο $D^{\circ}=\big(0,\frac{\pi}{2}\big)\times\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ προσδιορίζεται ένα μοναδικό σημείο, το $\big(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\big)$ , σαν υποψήφιο ακρότατο.
Απομένει να εξετάσουμε για εύρεση πιθανών ακροτάτων το σύνορο $\partial{D}$ .
Εύκολα διαπιστώνεται ότι τα μοναδικά σημεία του $f(\partial{D})$ που ικανοποιούν και την εξίσωση $\sin{x}+\sin{y}=1$ είναι τα $\big(\frac{\pi}{2},0\big)$ και $\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ . Επειδή $f\big(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\big)=\frac{\pi}{3}$ και $f\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\big(0,\frac{\pi}{2}\big)=\frac{\pi}{2}$ , έπεται ότι το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το $\big[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\big]$ .

#3

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 2:57 pm
Τα βασικά βήματα μιας λύσης:
...

Ωραιότατα.

Υπάρχει λύση και με ύλη μόνο Λυκείου.

Έβαλα το ερώτημα στον φάκελο των ΑΕΙ για να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange, έχω όμως και δεύτερη λύση στοιχειωδέστερη. Θα την γράψω αν χρειαστεί.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Λύνουμε ως προς

και έχουμε $y=\arcsin (1-\sin x)$

Ετσι είναι $y+x=\arcsin (1-\sin x)+x=f(x)$

Εύκολα βρίσκουμαι ότι $f(0)=f(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}$

Παραγωγίζωντας βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο $(0,\frac{\pi }{2})$

στο

με $\sin x=\frac{1}{2}$

Εκεί η συνάρτηση αναγκαστικά θα παίρνει την ελάχιστη τιμή της.

Ο υπολογισμός δίνει ότι αυτή είναι $2\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$

Αρα το σύνολο τιμών είναι το $[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}]$

Να σημειώσω ότι η $f:[0,\frac{\pi }{2}]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και

παραγωγίσημη στο $(0,\frac{\pi }{2})$

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 1:17 pm
Αν $0\le x\le \frac {\pi}{2}, \, 0\le y\le \frac {\pi}{2}$ και $\sin x + \sin y =1$ , να βρεθεί το σύνολο τιμών του .

Ας δούμε άλλη μία λύση.

Από Jensen είναι $\displaystyle{ \sin \frac {x+y}{2} \ge \frac {1}{2} ( \sin x + \sin y )= \frac {1}{2} = \sin \frac {\pi}{6} }$ , άρα $\displaystyle{x+y\ge \frac {\pi}{3} }$ με ισότητα αν $\displaystyle{x=y = \frac {\pi}{6} }$ (που ικανοποιούν και την $\displaystyle{\sin x + \sin y =1}$ ).

Από την (απλή και γνωστή) ανισότητα $\displaystyle{\sin t \ge \frac {2}{\pi }t }$ έχουμε $\displaystyle{1=\sin x + \sin y \ge \frac {2}{\pi }(x+y)}$ , από όπου $\displaystyle{x + y \le \frac {\pi}{2 }}$ με ισότητα αν $\displaystyle{x=0, \, y = \frac {\pi }{2}}$ (που ικανοποιούν και την $\displaystyle{\sin x + \sin y =1}$ ).

Και λοιπά, από συνέχεια της δοθείσας ως συνάρτησης μιάς μεταβλητής.

mikemoke · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 1:17 pm
Αν $0\le x\le \frac {\pi}{2}, \, 0\le y\le \frac {\pi}{2}$ και $\sin x + \sin y =1$ , να βρεθεί το σύνολο τιμών του .

Θεωρούμε το πρώτο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου και σημεία επί του κύκλου A,B

ώστε το άθροισμα των προβολών τους στον χ'χ AA'+BB'=1

(1)
Το άθροισμα των γωνιών μεγιστοποιείται όταν το άθροισμα των τόξων και άρα των χορδών μεγιστοποιείται
Με χρήση του Πυθαγορίου και της σχέσης (1) καταλήγουμε (Εστω AA'=z

και

το άθροισμα των χορδών )
$I=\sqrt{(1-\sqrt{(1-(1-z)^2})^2+(1-z)^2} +\sqrt{(1-\sqrt{1-z^2})^2+z^2}$
Ελαχιστοποείται για z=1/2

και μεγιστοποείται για z=1,z=0

Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Μέλη σε σύνδεση