Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

Συντονιστής: Demetres

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 30, 2017 1:17 pm

Αν 0\le x\le \frac {\pi}{2}, \, 0\le y\le \frac {\pi}{2} και \sin x + \sin y =1, να βρεθεί το σύνολο τιμών του x+y.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2847
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Σεπ 30, 2017 2:57 pm

Τα βασικά βήματα μιας λύσης:

Αν D=\big[0,\frac{\pi}{2}\big]\times\big[0,\frac{\pi}{2}\big], αρκεί να βρεθούν τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f:D\subset{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,;\; f(x,y)=x+y, υπό την συνθήκη \sin{x}+\sin{y}=1, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο και ολικό μέγιστο. Επειδή το D είναι συμπαγές, η f συνεχής και f(D)\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\;\sin{x}+\sin{y}=1\}\neq\varnothing, αυτά τα ολικά ακρότατα υπάρχουν.
Με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, στο ανοικτό σύνολο D^{\circ}=\big(0,\frac{\pi}{2}\big)\times\big(0,\frac{\pi}{2}\big) προσδιορίζεται ένα μοναδικό σημείο, το \big(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\big), σαν υποψήφιο ακρότατο.
Απομένει να εξετάσουμε για εύρεση πιθανών ακροτάτων το σύνορο \partial{D}.
Εύκολα διαπιστώνεται ότι τα μοναδικά σημεία του f(\partial{D}) που ικανοποιούν και την εξίσωση \sin{x}+\sin{y}=1 είναι τα \big(\frac{\pi}{2},0\big) και \big(0,\frac{\pi}{2}\big). Επειδή f\big(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\big)=\frac{\pi}{3} και f\big(\frac{\pi}{2},0\big)=\big(0,\frac{\pi}{2}\big)=\frac{\pi}{2}, έπεται ότι το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το \big[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\big].


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 30, 2017 5:30 pm

grigkost έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 2:57 pm
Τα βασικά βήματα μιας λύσης:
...
Ωραιότατα.

Υπάρχει λύση και με ύλη μόνο Λυκείου.

Έβαλα το ερώτημα στον φάκελο των ΑΕΙ για να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange, έχω όμως και δεύτερη λύση στοιχειωδέστερη. Θα την γράψω αν χρειαστεί.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 30, 2017 6:27 pm

Λύνουμε ως προς y και έχουμε y=\arcsin (1-\sin x)

Ετσι είναι y+x=\arcsin (1-\sin x)+x=f(x)

Εύκολα βρίσκουμαι ότι f(0)=f(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}

Παραγωγίζωντας βρίσκουμε ότι η παράγωγος μηδενίζεται στο (0,\frac{\pi }{2})

στο x με \sin x=\frac{1}{2}

Εκεί η συνάρτηση αναγκαστικά θα παίρνει την ελάχιστη τιμή της.

Ο υπολογισμός δίνει ότι αυτή είναι 2\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}

Αρα το σύνολο τιμών είναι το [\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}]

Να σημειώσω ότι η f:[0,\frac{\pi }{2}]\rightarrow \mathbb{R} συνεχής και

παραγωγίσημη στο (0,\frac{\pi }{2})


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12133
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Οκτ 01, 2017 10:30 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 1:17 pm
Αν 0\le x\le \frac {\pi}{2}, \, 0\le y\le \frac {\pi}{2} και \sin x + \sin y =1, να βρεθεί το σύνολο τιμών του x+y.
Ας δούμε άλλη μία λύση.

Από Jensen είναι \displaystyle{ \sin \frac {x+y}{2} \ge \frac {1}{2} ( \sin x + \sin y )= \frac {1}{2} = \sin \frac {\pi}{6} } , άρα \displaystyle{x+y\ge \frac {\pi}{3} } με ισότητα αν \displaystyle{x=y = \frac {\pi}{6} } (που ικανοποιούν και την \displaystyle{\sin x + \sin y =1}).

Από την (απλή και γνωστή) ανισότητα \displaystyle{\sin t \ge \frac {2}{\pi }t } έχουμε \displaystyle{1=\sin x + \sin y \ge \frac {2}{\pi }(x+y)} , από όπου \displaystyle{x + y \le \frac {\pi}{2 }} με ισότητα αν \displaystyle{x=0, \, y = \frac {\pi }{2}} (που ικανοποιούν και την \displaystyle{\sin x + \sin y =1}).

Και λοιπά, από συνέχεια της δοθείσας ως συνάρτησης μιάς μεταβλητής.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Σύνολο τιμών τριγωνομετρικής

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Οκτ 01, 2017 12:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 1:17 pm
Αν 0\le x\le \frac {\pi}{2}, \, 0\le y\le \frac {\pi}{2} και \sin x + \sin y =1, να βρεθεί το σύνολο τιμών του x+y.
Θεωρούμε το πρώτο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου και σημεία επί του κύκλου A,B ώστε το άθροισμα των προβολών τους στον χ'χ AA'+BB'=1 (1)
Το άθροισμα των γωνιών μεγιστοποιείται όταν το άθροισμα των τόξων και άρα των χορδών μεγιστοποιείται
Με χρήση του Πυθαγορίου και της σχέσης (1) καταλήγουμε (Εστω AA'=z και I το άθροισμα των χορδών )
I=\sqrt{(1-\sqrt{(1-(1-z)^2})^2+(1-z)^2}  +\sqrt{(1-\sqrt{1-z^2})^2+z^2}
Ελαχιστοποείται για z=1/2 και μεγιστοποείται για z=1,z=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης