Vojtech Jarnik 2017/3 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2017/3 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μάιος 25, 2017 9:46 am

Έστω ακέραιος n \geqslant 2. Θεωρούμε το σύστημα

\displaystyle{ x_1 + \frac{2}{x_2} =x_2 + \frac{2}{x_3} = \cdots = x_n + \frac{2}{x_1} \quad (1)}

(α) Να δειχθεί ότι η (1) έχει άπειρες πραγματικές λύσεις (x_1,\ldots,x_n) ώστε οι αριθμοί x_1,\ldots,x_n να είναι διαφορετικοί.

(β) Να δειχθεί ότι κάθε λύση (x_1,\ldots,x_n) της (1) για την οποία οι x_1,\ldots,x_n δεν είναι όλοι ίσοι ικανοποιεί την συνθήκη |x_1 \cdots x_n| = 2^{n/2}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1248
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Μάιος 25, 2017 11:24 am

Για το β) γράφουμε είναι εύκολο να δούμε ότι είναι ανά δύο διαφορετικοί.
\displastyle x_1-x_2=\frac{2(x_3-x_2)}{x_2x_3}

\displastyle x_2-x_3=\frac{2(x_4-x_3)}{x_3x_4}

...
\displastyle x_n-x_1=\frac{2(x_1-x_2)}{x_1x_2}

Παίρνοντας απόλυτες τιμές και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε ότι |x_1x_2\ldots x_n|=2^{n/2}.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 26, 2018 3:20 pm

Μιας και επανήλθε σε σχέση με την JBMO 2018, βάζω μια λύση και στο (α) ερώτημα.

Αρχικά κάνω την αλλαγή μεταβλητών y_i = \sqrt{2}x_i. Οπότε η συνθήκη γίνεται

\displaystyle  y_1 + \frac{1}{y_2} =y_2 + \frac{1}{y_3} = \cdots = y_n + \frac{1}{y_1} = m

για κάποιο πραγματικό m.

Ορίζω ακολουθία πολυωνύμων P_0(x),P_1(x),\ldots ώστε P_0(x) = x, P_1(x) = 1 και P_{r+1}(x) = mP_r(x) - P_{r-1}(x) για r \geqslant 1.

Παρατηρώ ότι αν επιλέξω οποιοδήποτε y_1 και μετά επιλέξω y_{r} = \frac{P_{r-1}(y_1)}{P_r(y_1)}, τότε τα y_1,\ldots,y_n ικανοποιούν την συνθήκη αρκεί να ισχύει επίσης και ότι P_n(x) = P_0(x) και P_{n+1}(x) = P_1(x).

Λύνοντας όμως την αναδρομική σχέση έχω P_r(x) = Q(x)a^r + R(x)b^r για κάποια πολυώνυμα Q(x),R(x), όπου a,b οι ρίζες του πολυωνύμου t^2 - mt + 1. (Αν το πολυώνυμο έχει διακεκριμένες ρίζες.)

Αρκεί λοιπόν να επιλέξω το m με τέτοιο τρόπο ώστε το t^2-mt+1 να διαιρεί το t^n-1. Ένας όμως παράγοντας είναι ο

\displaystyle (t-e^{2\pi i/n})(t-e^{-2\pi i/n}) = t^2 - 2\cos(\frac{2\pi}{n})t + 1

Οπότε μπορώ να επιλέξω m = 2\cos(\frac{2\pi}{n}) και το ζητούμενο έπεται. Μπορούν μάλιστα να υπολογιστούν και οι τιμές των x_i (εξαρτώνται από το x_1) αλλά δεν είναι απαραίτητο να γίνει. Το μόνο που χρειάζεται είναι να ελέγξουμε ότι δεν είναι όλα τα x_i ίσα. Ισοδύναμα θέλουμε y_1 \neq y_2. Μόνο που για οποιοδήποτε m υπάρχουν το πολύ 2 τιμές του y_1 που δίνουν y_1 = y_2 (οι λύσεις της y + 1/y = m). Άρα υπάρχει κατάλληλη επιλογή.

Στην επίσημη λύση βρίσκει κατάλληλα a,b,t_0 ώστε \displaystyle  x_k = a\tan\left(t_0 + \frac{k\pi}{n} \right) + b.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης