Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 21, 2017 5:37 pm

Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,\infty) \to \mathbb{R} η οποία ικανοποιεί

\displaystyle{ f(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, \mathrm{d}t}

για κάθε x \geqslant 1.

Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \int_1^{\infty} |f'(x)| \, \mathrm{d}x < \infty.}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2698
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 07, 2017 11:17 pm

Demetres έγραψε:Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,\infty) \to \mathbb{R} η οποία ικανοποιεί

\displaystyle{ f(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, \mathrm{d}t}

για κάθε x \geqslant 1.

Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \int_1^{\infty} |f'(x)| \, \mathrm{d}x < \infty.}

Ελπίζω να είμαι σωστός
Παραγωγίζοντας την

\displaystyle{ f(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, \mathrm{d}t}

παίρνουμε f'(x)=f(x)-f(x-1)(1)

Αλλά f(x)=\int_{x-1}^{x}(t-x)'f(t)dt=f(x-1)-\int_{x-1}^{x}(t-x)f'(t)dt(2)

Προκύπτει από τις (1)(2) ότι

f'(x)=\int_{x-1}^{x}(x-t)f'(t)dt

παίρνοντας απόλυτα και ολοκληρώνοντας έχουμε

\int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx\leq \int_{a}^{b}\int_{x-1}^{x}(x-t)\left | f'(t) \right |dtdx=A

κάνοντας αλλαγή στην σειρά ολοκλήρωσης παίρνουμε

A\leq \int_{a-1}^{b}(\int_{t}^{t+1}(x-t)\left | f'(t) \right |dx)dt=\int_{a-1}^{b}\left | f'(t) \right |(\int_{t}^{t+1}(x-t)dx)dt=\frac{1}{2}\int_{a-1}^{b}\left | f'(t) \right |dt

τελικά είναι \int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx\leq \frac{1}{2}\int_{a-1}^{b}\left | f'(x) \right |dx

οπότε \int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx\leq \int_{a-1}^{a}\left | f'(x) \right |dx

Η τελευταία σχέση μας δίνει το ζητούμενο αφού το b μπορεί να πάει στο άπειρο.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8265
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μάιος 08, 2017 3:26 pm

Αρκετά πιο σύντομο από την επίσημη λύση εδώ. Σωστό μου φαίνεται πάντως.

Επειδή αρχικά με μπέρδεψε λίγο, να αναφέρω ότι η παραγώγιση στο (t-x)'f(t) είναι ως προς t.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2698
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 08, 2017 11:54 pm

Σωστά είναι Δημήτρη τα έλεγξα.

Το περίεργο είναι ότι δίνει περιττά δεδομένα.

Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι η f είναι συνεχής.

Παραγωγίζεται λόγω του ολοκληρώματος και η παράγωγος είναι συνεχής αφού

γράφεται σαν διαφορά τιμών της συνάρτησης.

Θα μπορούσαν να εξασθενίσουν και άλλο αλλά μην το παρατραβάμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2698
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 09, 2017 4:59 pm

Το γράφω με επιφύλαξη.(αν το αφήσω μάλλον θα το ξεχάσω)

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση εκτός της μηδενικής.

Εχουμε f(x-1)=f(x)-f'(x),x\geq 1(1)

Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη με βήμα 1 μπορούμε να επεκτείνουμε

την f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

ώστε να ισχύει η (1).

Στην (1) παίρνουμε μετασχηματισμό Fourier .
(εν ανάγκη θεωρούμε την f σαν distribution)

Εχουμε e^{it}\hat{f}(t)=\hat{f}(t)+it\hat{f}(t)

προκύπτει ότι \hat{f}=0

οπότε και f=0

Συμπλήρωμα.Εσβησε.
Συμπλήρωμα 2.Τα παραπάνω είναι ΛΑΘΟΣ.

α)Η (1) δεν είναι ισοδύναμη με την αρχική.
π.χ η f(x)=x την ικανοποιεί χωρίς να ικανοποιεί την αρχική.

β) Ο μετασχηματισμός Fourier μιας distribution μπορεί να μηδενίζεται εκτός ενός σημείου και
η distribution να μην είναι η μηδενική.
π.χ αν δούμε την f(x)=x σαν distribution ο μετασχηματισμός Fourier της είναι
c\delta _{0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης