Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

#1

Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί

$\displaystyle{ f(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, \mathrm{d}t}$

για κάθε $x \geqslant 1$ .

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \int_1^{\infty} |f'(x)| \, \mathrm{d}x < \infty.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Demetres έγραψε:Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί

$\displaystyle{ f(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, \mathrm{d}t}$

για κάθε $x \geqslant 1$ .

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \int_1^{\infty} |f'(x)| \, \mathrm{d}x < \infty.}$

Ελπίζω να είμαι σωστός
Παραγωγίζοντας την

$\displaystyle{ f(x) = \int_{x-1}^x f(t) \, \mathrm{d}t}$

παίρνουμε f'(x)=f(x)-f(x-1)

(1)

Αλλά $f(x)=\int_{x-1}^{x}(t-x)'f(t)dt=f(x-1)-\int_{x-1}^{x}(t-x)f'(t)dt$ (2)

Προκύπτει από τις (1)(2) ότι

$f'(x)=\int_{x-1}^{x}(x-t)f'(t)dt$

παίρνοντας απόλυτα και ολοκληρώνοντας έχουμε

$\int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx\leq \int_{a}^{b}\int_{x-1}^{x}(x-t)\left | f'(t) \right |dtdx=A$

κάνοντας αλλαγή στην σειρά ολοκλήρωσης παίρνουμε

$A\leq \int_{a-1}^{b}(\int_{t}^{t+1}(x-t)\left | f'(t) \right |dx)dt=\int_{a-1}^{b}\left | f'(t) \right |(\int_{t}^{t+1}(x-t)dx)dt=\frac{1}{2}\int_{a-1}^{b}\left | f'(t) \right |dt$

τελικά είναι $\int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx\leq \frac{1}{2}\int_{a-1}^{b}\left | f'(x) \right |dx$

οπότε $\int_{a}^{b}\left | f'(x) \right |dx\leq \int_{a-1}^{a}\left | f'(x) \right |dx$

Η τελευταία σχέση μας δίνει το ζητούμενο αφού το

μπορεί να πάει στο άπειρο.

#3

Αρκετά πιο σύντομο από την επίσημη λύση εδώ. Σωστό μου φαίνεται πάντως.

Επειδή αρχικά με μπέρδεψε λίγο, να αναφέρω ότι η παραγώγιση στο (t-x)'f(t)

είναι ως προς

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Σωστά είναι Δημήτρη τα έλεγξα.

Το περίεργο είναι ότι δίνει περιττά δεδομένα.

Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι η

είναι συνεχής.

Παραγωγίζεται λόγω του ολοκληρώματος και η παράγωγος είναι συνεχής αφού

γράφεται σαν διαφορά τιμών της συνάρτησης.

Θα μπορούσαν να εξασθενίσουν και άλλο αλλά μην το παρατραβάμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Το γράφω με επιφύλαξη.(αν το αφήσω μάλλον θα το ξεχάσω)

Δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση εκτός της μηδενικής.

Εχουμε $f(x-1)=f(x)-f'(x),x\geq 1$ (1)

Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη με βήμα

μπορούμε να επεκτείνουμε

την $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε να ισχύει η (1).

Στην (1) παίρνουμε μετασχηματισμό Fourier .
(εν ανάγκη θεωρούμε την

σαν distribution)

Εχουμε $e^{it}\hat{f}(t)=\hat{f}(t)+it\hat{f}(t)$

προκύπτει ότι $\hat{f}=0$

οπότε και f=0

Συμπλήρωμα.Εσβησε.
Συμπλήρωμα 2.Τα παραπάνω είναι ΛΑΘΟΣ.

α)Η (1) δεν είναι ισοδύναμη με την αρχική.
π.χ η f(x)=x

την ικανοποιεί χωρίς να ικανοποιεί την αρχική.

β) Ο μετασχηματισμός Fourier μιας distribution μπορεί να μηδενίζεται εκτός ενός σημείου και
η distribution να μην είναι η μηδενική.
π.χ αν δούμε την f(x)=x

σαν distribution ο μετασχηματισμός Fourier της είναι
$c\delta _{0}$

Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/4 Category II

Μέλη σε σύνδεση