Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

#1

Έστω σύνολο

και έστω $\mathcal{P}(X)$ το σύνολο όλων των υποσυνόλων του

. Δίνεται επίσης συνάρτηση $\mu:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$ με την ιδιότητα

$\mu(A \cup B) = \mu(A) \cup \mu(B)$

για κάθε $A,B \in \mathcal{P}(X)$ τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους.

Να δειχθεί ότι υπάρχει υποσύνολο

του

για το οποίο να ισχύει ότι $\mu(F)=F$ .

#2

Demetres έγραψε:Έστω σύνολο και έστω $\mathcal{P}(X)$ το σύνολο όλων των υποσυνόλων του . Δίνεται επίσης συνάρτηση $\mu:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$ με την ιδιότητα

$\mu(A \cup B) = \mu(A) \cup \mu(B)$

για κάθε $A,B \in \mathcal{P}(X)$ τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους.

Να δειχθεί ότι υπάρχει υποσύνολο του για το οποίο να ισχύει ότι $\mu(F)=F$ .

Πρώτα παρατηρούμε ότι η $\mu$ διατηρεί την διάταξη καθώς αν $A\subseteq B$ τότε τα A, B-A

είναι ξένα με ένωση

. Άρα $\mu (A) \subseteq \mu (A) \cup \mu (B-A)= \mu (A \cup (B-A)) = \mu (B)$

Τώρα, το σύνολο $\{ A \in \mathcal{P}(X) | A \supseteq \mu (A) \}$ είναι μη κενό, αφού περιέχει το

. Θέτουμε

$K = \cap \{ A \in \mathcal{P}(X) | A \supseteq \mu (A) \}$ οπότε για κάθε

στο εν λόγω σύνολο είναι $A \supseteq K , \, (*)$ και άρα από την διατήρηση της διάταξης $A \supseteq \mu (A) \supseteq \mu (K)$ . Παίρνοντας τομή ως προς όλα αυτά τα

είναι $K \supseteq \mu (K), \, (**)$ (αυτό σημαίνει ότι το

είναι στοιχείο του συνόλου από όπου προήλθε, αλλά δεν θα χρησιμοποιήσω αυτή την πληροφορία).

Από την (**)

έπεται $\mu (K) \supseteq \mu (\mu (K)) , \, (***)$ και άρα $\mu (K) \in \{ A \in \mathcal{P}(X)| A \supseteq \mu (A) \}$ . Ειδικά από την (*)

είναι $\mu (K) \supseteq K$ και άρα $\mu (\mu (K)) \supseteq \mu (K)$ . Η τελευταία σε συνδυασμό με την (***)

σημαίνει ότι το σύνολο $L= \mu (K)$ ικανοποιεί την ζητούμενη $\mu (L) = L$ .

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε εξ ίσου καλά να εργαστούμε με το $\{ A \in \mathcal{P}(X) | \mu (A) \supseteq A \}$ που είναι μη κενό καθώς περιέχει το $\emptyset$ και να θέσουμε $K= \cup \{ A \in \mathcal{P}(X) | \mu (A) \supseteq A \}$ . Τα βήματα είναι παρόμοια αλλά με τα "περιέχεσθαι" ανεστραμμένα.

#3

Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος σταθερού σημείου των Knaster-Tarksi. Αυτό λέει ότι

Αν

ένα πλήρες μερικώς διατεταγμένο σύνολο και $f:P \to P$ μια συνάρτηση η οποία διατηρεί την διάταξη, τότε η

έχει σταθερό σημείο.

Η απόδειξη είναι ουσιαστικά αυτή που έδωσε ο Μιχάλης.

#4

Demetres έγραψε:Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος σταθερού σημείου των Knaster-Tarksi.

Δημήτρη, ευχαριστούμε για την πληροφορία.

Δεν ήξερα το Θεώρημα Knaster-Tarksi, το οποίο πραγματικά είναι πολύ ενδιαφέρον ιδίως η γενίκευσή του για lattices. Με χρήση του google βρήκα στην wikipedia λίγα σχετικά

εδώ

Για τον ίδιο τον Tarski (1901-1983), ήξερα αρκετά. Ήταν πωλονοεβραίος που αλλαξοπίστισε σε Καθολικό και λίγο πριν τον πόλεμο μετακόμισε στην Αμερική όπου έκανε λαμπρή καριέρα. Νωρίτερα είχε αλλάξει το όνομά του από Teitelbaum σε Tarski. Είχε τεράστια συμβολή σε ευρύ φάσμα Μαθηματικών, και ιδίως Λογικής. Βλέπε λίγα εδώ.

Ήξερα την απίστευτη κατασκευή του με τον Banach για το λεγόμενο παράδοξο Banach-Tarski και ήξερα ένα αποτέλεσμά του στις Άλγεβρες Boole που κάποτε χρειάστηκα στην ερευνητική μου εργασία, αλλά και το παραπάνω διαμαντάκι με εντυπωσίασε άλλη μία φορά.

Ας προσθέσω ότι ο Tarski συχνά πυκνά πήγαινε σε Σχολεία να διδάξει Ευκλείδεια Γεωμετρία.

#5

Ας δούμε τότε και αυτό εδώ.

Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2016/2 Category II

Μέλη σε σύνδεση