IMC 2016/1/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8606
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2016/1/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:31 am

Έστω θετικός ακέραιος n και έστω πραγματικοί a_1,\ldots,a_n και b_1,\ldots,b_n με a_i + b_i > 0 για 1 \leqslant i \leqslant n. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{a_ib_i - b_i^2}{a_i+b_i} \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i - \left( \sum_{i=1}^n b_i\right)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)}}



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2016/1/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Ιούλ 28, 2016 12:31 pm

Ισχύει \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i b_i - b_i^2}{a_i + b_i} = \sum_{i=1}^n \left( b_i - \frac{2 b_i^2}{a_i + b_i} \right) \leq \sum_{i=1}^n b_i - \frac{2 \left( \sum_{i=1}^n b_i \right)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)} (από Cauchy-Schwarz) =

\displaystyle = \frac{(\sum_{i=1}^n a_i) (\sum_{i=1}^n b_i) - (\sum_{i=1}^n b_i)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης