IMC 2016/1/1

#1

Έστω $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ συνεχής στο [a,b]

και παραγωγίσιμη στο (a,b)

. Έστω ότι η

έχει άπειρες ρίζες αλλά δεν υπάρχει

στο

με

.

(α) Να δειχθεί ότι f(a)f(b)=0

.
(β) Να βρεθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης στο [0,1]

.

dement · #2

Από Bolzano-Weierstrass στο συμπαγές [a,b]

προκύπτει ότι υπάρχει σημείο συσσώρευσης x_0

των ριζών της

στο

και, λόγω συνέχειας, f(x_0) = 0

. Αν $x_0 \in (a,b)$ τότε f'(x_0) = 0

, που είναι άτοπο. Άρα $x_0 \in \{ a, b \}$ , οπότε f(a) f(b) = 0

. Ένα παράδειγμα στο [0,1]

είναι η $f(x) = x \sin (1/x), f(0) = 0$ .