SEEMOUS 2016/3

#1

Έστω ταυτοδύναμοι (idempotent) πίνακες $A_1,\ldots,A_k$ (δηλαδή A_i^2 = A_i

) στο $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^k N(A_i) \geqslant \mathrm{rank}\left(I - \prod_{i=1}^k A_i \right)}$

όπου $N(A_i) = n - \mathrm{rank}(A_i)$ .

Zarifis · #2

Απο χαρακτηριστίκο(που είναι κι ελάχιστο) πολυώνυμο βλέπουμε ότι κάθε A_i

είναι διαγωνοποιήσιμο κι επισης ότι οι ιδιοτιμές είναι

ή

.
Επαγωγικά: Για έναν πίνακα A_i

προφανώς ισχύει η ανισότητα αφού με μια αλλαγή βάσης βλέπουμε n-N(A)=rank(I-A)

.
Έστω ότι ισχύει για n=k

. Κι πάμε για το επαγωγικό βήμα. Έχουμε ότι για k+1

:
$\mathrm{rank}(I-\prod_{i=1}^{n}A_i) + n-\mathrm{rank}(A_{k+1}) = \mathrm{rank}(I-\prod_{i=1}^{k}A_i) + \mathrm{rank}(I-A_{k+1})$ .
Τώρα μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει μια αλλαγή βάσεις τέτοια ώστε $\prod_{i=1}^{k}A_i =LDL^{-1}$ διαγώνιο πίνακα (από ελάχιστο πολυώνυμο).
Άρα θέλουμε να δείξουμε ότι $\mathrm{rank}(I-D) + \mathrm{rank}(I-D_{n+1}) \ge \mathrm{rank}(I-DD_{n+1})$ (πάλι αλλάγη βάσης). Άρα ότι $2n - (\sum \lambda_i + t_i) \ge n-\sum \lambda_i t_i$ .
Άρα φτάνει να δείξουμε ότι : $n \ge (\sum \lambda_i + t_i) -\sum \lambda_i t_i$ το οποίο αφού οι ιδιοτιμές είναι ίσες με bits απο boole βλέπουμε ότι $n \ge \sum \lambda_i \ or\ t_i$ το οποίο προφανώς ισχύει.

SEEMOUS 2016/3

SEEMOUS 2016/3

Re: SEEMOUS 2016/3

Μέλη σε σύνδεση