SEEMOUS 2015/3

#1

3) Για κάθε ακέραιο n>2

, έστω $A,B,C,D\in\mathcal{M} _n (\mathbb{R} )$ πίνακες για τους οποίους ισχύει AC-BD=I_n

και

.

Να αποδειχθεί ότι:

α) CA-DB=I_n

και

,

β) $\det(AC)\geq 0$ και $(-1)^n \det(BD)\geq 0$ .

Antonis_Z · #2

Μια σκιαγράφηση λύσης(διαφορετικής απ'την επίσημη) για το-ομολογουμένως-δύσκολο 3β(το έλυσε πλήρως μόνο ένα άτομο στο διαγωνισμό).

Ας ονομάσουμε με τη σειρά τις 4 σχέσεις που έχουμε (1),(2),(3),(4).
$C\cdot (1)\implies CAC-CBD=C$
$(3)\cdot C\implies CAC-DBC=C$
Άρα $CBD=DBC\implies ACBD=ADBC$ .
Επίσης, $D\cdot (1)\implies DAC-DBD=D$
και $(3)\cdot D\implies CAD-DBD=D$
άρα $DAC=CAD\implies ADAC=ACAD$ .
Τώρα $AC\cdot (1)\implies (AC)^2-ACBD=AC$ και $AD\cdot (2)\implies (AD)^2+ADBC=O_n$ .
Με πρόσθεση των 2 τελευταίων (AC)^2+(AD)^2=AC

(λόγω των προηγούμενων σχέσεων).
Τέλος πάλι λόγω των προηγούμενων σχέσεων έχουμε $AC=(AC+iAD)(AC-iAD)\implies \det(AC)=|\det(AC+iAD)|^2\geq 0$ .
Για την απόδειξη της 2ης ανισότητας παρατηρήστε ότι είναι ισοδύναμη με την 1η...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Βάζω μια απάντηση για το (α) που ήταν πιο απλό ώστε να κλείσει αυτό το θέμα:

Οι συνθήκες δίνουν $\begin{pmatrix} A & B \\ -B & A\end{pmatrix}\begin{pmatrix} C & D \\ -D & C\end{pmatrix} = I$ . Άρα είναι και $\begin{pmatrix} C & D \\ -D & C\end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ -B & A\end{pmatrix} = I$ . Αυτό δίνει τις άλλες δύο συνθήκες.

SEEMOUS 2015/3

SEEMOUS 2015/3

Re: SEEMOUS 2015/3

Re: SEEMOUS 2015/3

Μέλη σε σύνδεση