Συναρτησιακή σχέση

#1

Να βρεθούν όλες οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ που να ικανοποιούν f(mn) = f(m)f(n)

.

Γνωρίζουμε από την συζήτηση εδώ ότι κάθε τέτοια συνάρτηση πρέπει να είναι της μορφής f(n) = n^c

για κάποιο πραγματικό αριθμό c > 0

. Αν ο c είναι ακέραιος τότε η συνάρτηση έχει πράγματι πεδίο τιμών το $\mathbb{N}^*$ . Αν όμως δεν είναι ακέραιος;

Υπάρχει $c \in \mathbb{R}^+ \setminus \mathbb{N}$ ώστε ο n^c

να είναι ακέραιος για κάθε φυσικό αριθμό

;

Αυτή την άσκηση την είχα δει παλιότερα. Έχω μια λύση (όχι δική μου) την οποία θεωρώ εξαιρετικά δύσκολο να βρει κάποιος. Οι γνώσεις που χρησιμοποιεί είναι στην ύλη των φοιτητικών διαγωνισμών αλλά αν δεν υπάρχει πιο απλή λύση θα το θεωρούσα άδικο να πέσει σε ένα τέτοιο διαγωνισμό. (Δεν θα εκπλαγώ όμως αν ο Αχιλλέας μας πει πως έπεσε στον Putnam του 19?? με λύση ακριβώς ίδια με αυτή που γνωρίζω.)

Ilias_Zad · #2

Πολυ δυσκολη..
Aν και δεν ειμαι ο Αχιλλεας η ασκηση ειναι απο putnam 1971 A6

Την ειχα ψαξει μετα αφου ειχα δει το θεωρημα του erdos προ καιρου και ειχα δει στο mathlinks μια λυση με finite differences. Το δινω σαν υποδειξη. Δημητρη αυτη την προσεγγιση εχεις υποψιν;

#3

Ηλία νομίζω την ίδια λύση έχουμε υπόψη.

#4

Να δώσω μια λύση:

Αρχίκα βγάζουμε τον λαγό απ' το καπέλο: Αν

ομαλή συνάρτηση τότε $\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f(x+k) = f^{(n)}(\xi) }$ για κάποιο $\xi \in (x,x+n)$ . (1)

Με $f(x) = x^c, n = \lceil c \rceil$ και x = N

όπου

θετικός ακέραιος η (1) δίνει

$\displaystyle{ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} (N+k)^c = c(c-1) \cdots (c - \lceil c \rceil + 1)\xi^{ c - \lceil c \rceil} }$ για κάποιο $\xi \in (N,N+n)$ (2)

Το αριστερό όμως μέλος της (2) είναι ακέραιος ενώ το δεξί μέλος, αν το

είναι αρκετά μεγάλο ανήκει στο (0,1)

, άτοπο.

Η (1) αποδεικνύεται επαγωγικά. Η περίπτωση n=1

είναι ειδική περίπτωση του θεωρήματος μέσης τιμής. Για το επαγωγικό βήμα παρατηρούμε ότι αν $\displaystyle{g(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f(x+k)}$ , τοτε $\displaystyle{g(x+1) - g(x) = \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{n+1-k} \binom{n+1}{k} f(x+k)}$ .

Συναρτησιακή σχέση

Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Re: Συναρτησιακή σχέση

Μέλη σε σύνδεση