Putnam 2018/A3

#1

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(3x_i)$

όπου οι $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ είναι πραγματικοί αριθμοί ώστε

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(x_i) = 0.$

#2

Μιας και είμαστε στον φάκελο των φοιτητών, ας το δούμε με πολλαπλασιαστές Lagrange. Θα καταγράψω όλα όσα οφείλουμε να ελέγξουμε. Δεν γνωρίζω πόσες μονάδες θα έπαιρνε μια απευθείας χρήση των πολλαπλασιαστών χωρίς τους κατάλληλους ελέγχους.

Επειδή $\cos(3x) = 4\cos^3{x}- 3\cos{x}$ , το πρόβλημα αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} \cos^3{x_i}$

Γράφοντας $a_i = \cos(x_i)$ αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το $\displaystyle \sum_{i=1}^{10} a_i^3$ υπό τις συνθήκες $a_1,\ldots,a_{10} \in [-1,1]$ και $a_1 + \cdots + a_{10} = 0$ .

Επειδή το σύνολο όλων των $(a_1,\ldots,a_{10})$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb{R}^{10}$ (ως κλειστό και φραγμένο) και επειδή η συνάρτηση προς μεγιστοποίηση είναι συνεχής, θα υπάρχει διάνυσμα στο οποίο λαμβάνεται το μέγιστο.

Αν στο διάνυσμα που λαμβάνεται το μέγιστο έχουμε a_i = -a_j

, τότε αλλάζοντάς τα σε a_i = a_j = 0

θα έχουμε ένα άλλο διάνυσμα που ικανοποιεί τις συνθήκες και στο οποίο λαμβάνεται το μέγιστο. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι στο διάνυσμα που λαμβάνεται το μέγιστο δεν έχουμε δύο τέτοια στοιχεία διάφορα του

.

Περίπτωση 1: Χωρίς βλάβη της γενικότητας το μέγιστο λαμβάνεται στο $(a_1,\ldots,a_r,1,\ldots,1)$ όπου $a_1,\ldots,a_r \in (-1,1)$ και $a_i \neq -a_j$ εκτός και αν a_i = a_j = 0

.

Επειδή το (-1,1)^r

είναι ανοικτό, επειδή ξέρουμε ότι υπάρχει διάνυσμα στο οποίο λαμβάνουμε το μέγιστο, και επειδή $\nabla (a_1 + \cdots + a_r) = (1,1,\ldots,1) \neq \mathbf{0}$ , τότε από τους πολλαπλασιαστές Lagrange υπάρχει $\lambda$ ώστε για κάθε

να ισχύει ότι

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial a_i} (a_1^3 + \cdots + a_r^3) = \lambda \frac{\partial}{\partial a_i} (a_1 + \cdots + a_r)$

Αυτό δίνει $\lambda = 3a_1^2 = \cdots = 3a_r^2$ . Επειδή $a_i \neq -a_j$ εκτός και αν a_i = a_j = 0

παίρνουμε ότι $a_1 = \cdots = a_r$ . Η συνθήκη $a_1 + \cdots + a_{10} = 0$ δίνει $a_1 = \cdots = a_r = \frac{r-10}{r}$ . Επειδή επιπλέον |a_1| < 1

πρέπει

. Άρα το μέγιστο θα πρέπει να ισούται με

$\displaystyle 10-r + r \frac{(r-10)^3}{r^3} = \frac{10-r}{r^2}\left[ r^2 - (10-r)^2\right] = \frac{10(10-r)(2r-10)}{r^2}$

Για r=6,7,8,9,10

η μέγιστη τιμή της πιο πάνω συνάρτησης είναι η $\displaystyle \frac{120}{49}$ για r=7

.

Περίπτωση 2: Χωρίς βλάβη της γενικότητας το μέγιστο λαμβάνεται στο $(a_1,\ldots,a_r,-1,\ldots,-1)$ όπου $a_1,\ldots,a_r \in (-1,1)$ και $a_i \neq -a_j$ εκτός και αν a_i = a_j = 0

.

Ακριβώς όπως στην Περίπτωση 1 το μέγιστο θα πρέπει να ισούται με $\displaystyle -\frac{10(10-r)(2r-10)}{r^2}$ το οποίο είναι πάντα αρνητικό. (Στην πραγματικότητα εδώ δεν έχουμε μέγιστο αλλά τοπικό ελάχιστο.)

Λαμβάνοντας όλα τα πιο πάνω υπόψη το μέγιστο του ζητούμενου αθροίσματος ισούται με $\displaystyle 4 \cdot \frac{120}{49} = \frac{480}{49}.$

Putnam 2018/A3

Putnam 2018/A3

Re: Putnam 2018/A3

Μέλη σε σύνδεση