IMC 2007/1/4

#1

Έστω πεπερασμένη ομάδα

. Αν

υποσύνολα της

, γράφουμε $N_{UVW}$ για το πλήθος των τριάδων $(x, y, z) \in U \times V \times W$ για τις οποίες xyz = 1_G

.

Έστω τρία υποσύνολα A,B,C

τα οποία διαμερίζουν την

. Να δειχθεί ότι $N_{ABC} = N_{CBA}$ .

dement · #2

Έστω $K, L, M \subseteq G$ . Ορίζουμε $K \times L_M \equiv \{(k,l) \in K \times L: kl \in M^{-1} \}$ . Τότε, το ζητούμενο γράφεται ως $|A \times B_C| = |B \times A_C|$ .

Λόγω διαμέρισης έχουμε $\displaystyle \bigcup_{i \in \{A, B, C \}} A \times B_i = A \times B$ και $i \cap j = \O \implies (A \times B_i) \cap (A \times B_j) = \O \ \ (1)$ (και ομοίως για το $B \times A$ ).

Ισχύει ότι $(x,y) \in A \times B_A \Leftrightarrow \left( y, (xy)^{-1} \right) \in B \times A_A$ και $(x,y) \in A \times B_B \Leftrightarrow \left( (xy)^{-1}, x \right) \in B \times A_B$ . Παρατηρούμε ότι τα αντίστοιχα διατεταγμένα ζεύγη είναι μονοσήμαντες συναρτήσεις το ένα του άλλου. Έτσι, έπεται $|A \times B_A| = |B \times A_A|$ και $|A \times B_B| = |B \times A_B|$ .

Aπό την (1)

και το πεπερασμένο της

έπεται ότι $|A \times B_C|=|B \times A_C|$ .

IMC 2007/1/4

IMC 2007/1/4

Re: IMC 2007/1/4

Μέλη σε σύνδεση