IMC 2016/1/2

#1

Έστω θετικοί ακέραιοι k,n

. Μια ακολουθία $A_1,\ldots,A_k$ από $n\times n$ πραγματικούς πίνακες είναι προτιμητέα από τον Ιβάν τον εξομολόγο αν $A_i^2 \neq 0$ για $1\leqslant i \leqslant k$ αλλά A_iA_j=0

για $1 \leqslant i,j \leqslant k$ με $i \neq j$ .

Να δειχθεί ότι $k \leqslant n$ για όλες τις προτιμητέες ακολουθίες και να βρεθεί παράδειγμα προτιμητέας ακολουθίας για k=n

για όλα τα

.

#2

Για $1 \leqslant i \leqslant k$ θέτω V_i

για τον διανυσματικό χώρο που γεννάται από τις στήλες των $A_i,\ldots,A_n$ .

Θα δείξω επαγωγικά ότι $\mathrm{dim}(V_i) \leqslant n-i+1$ . Εφόσον $1 \leqslant \dim(V_k) \leqslant n-k+1$ το ζητούμενο έπεται.

Έστω λοιπόν ότι όντως $\mathrm{dim}(V_i) \leqslant n-i+1$ . Επειδή $A_i^2 \neq 0$ υπάρχει στήλη

του

με $A_iv \neq 0$ . Δεν μπορούμε να έχουμε $v \in V_{i+1}$ αφού A_iw = 0

για κάθε $w \in V_{i+1}$ . Άρα $\dim(V_{i+1}) \leqslant \dim(V_i) -1 \leqslant n-i = n-(i+1)-1$ . Ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Ως παράδειγμα προτιμητέας ακολουθίας μπορούμε να πάρουμε τους πίνακες $A_1,\ldots,A_n$ όπου ο πίνακας A_i

έχει παντού μηδενικά εκτός από την θέση στην

γραμμή και

στήλη όπου έχει άσσο.

IMC 2016/1/2

IMC 2016/1/2

Re: IMC 2016/1/2

Μέλη σε σύνδεση