Μιγαδικοί αριθμοί

#1

Υποθέτουμε ότι οι $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$ και οι $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_s$ είναι μη-μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

$\alpha_1^{\ell}+\alpha_2^{\ell}+\cdots+\alpha_r^{\ell}=\beta_1^{\ell}+\beta_2^{\ell}+\cdots+\beta_s^{\ell}$

για κάθε θετικό ακέραιο $\ell$ .

Να δειχθεί τότε ότι είναι r=s

και ότι οι αριθμοί $\alpha_i$ είναι μια μετάθεση των $\beta_j$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

algal · #2

!!! Δεν έχω λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Θα δώσω δύο λύσεις, μια για τους θετικούς πραγματικούς και μια για τους πραγματικούς. Δυστυχώς δεν μπορούν να γενικευθούν στους μιγαδικούς.

ΛΥΣΗ 1 (για θετικούς πραγματικούς)
Παίρνω

τάξης ρίζα στη σχέση που δίνεται κι έχω $\sqrt[l]{{a_1}^l+{a_2}^l+...+{a_r}^l}=\sqrt[l]{{b_1}^l+{b_2}^l+...+{b_s}^l}$ . Αν θέσουμε x_n

το πρώτο μέλος και y_n

το δεύτερο δύο ακολουθίες αφού η παραπάνω σχέση ισχύει για όλα τα

,τότε $x_n\rightarrow max{a_i}$ και $y_n\rightarrow max{b_j}$ για i=1,2,...,r

και

. Κι αφού οι ακολουθίες είναι ίσες τότε θα είναι και τα όρια. Έτσι σκοτώνουμε τους μέγιστους όρους από κάθε μέλος. Συνεχίζουμε με αυτό τον τρόπο και σκοτώνοντας όρους αποδεικνύουμε το ζητούμενο.
ΛΥΣΗ 2 (για πραγματικούς αριθμούς)
Διαιρούμε με τον κατά απόλυτη τιμή μεγαλύτερο αριθμό και παίρνουμε πάλι όρια. Με αυτό τον τρόπο σκοτώνουμε το μέγιστο από κάθε μέλος όπως και πριν.

!!! Αυτές τις σκέψεις έχω κάνει στο πρόβλημα. Μπορεί να φανούν χρήσιμες.

#3

Παρατηρώ ότι διαιρώντας όλους τους αριθμούς με οποιοδήποτε μη μηδενικό μιγαδικό τα δεδομένα εξακολουθούν να ισχύουν. Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι όλοι έχουν μέτρο μικρότερο από 1.

Ορίζω τώρα δυο μιγαδικές συναρτήσεις ως εξής:

$\displaystyle{f(z) = a_1^{1/z} + \cdots + a_r^{1/z}}$ και $\displaystyle{g(z) = b_1^{1/z} + \cdots + b_r^{1/z}}$

Παρατηρώ ότι οι f,g

είναι ολόμορφες στο $\mathbb{C}$ και συμφωνούν στο σύνολο $A = \{1,1/2,1/3,\ldots\}$ . Επειδή το

έχει σημείο συσσώρευσης, από το identity theorem έπεται ότι οι f,g

συμφωνούν σε όλο το $\mathbb{C}$ .

Επομένως έχω $\displaystyle{ r = \lim_{z \to \infty} f(z) = \lim_{z \to \infty} g(z) = s.}$ Τώρα παρατηρώ ότι τα πολυώνυμα $F(z) = (z-a_1) \cdots (z-a_r)$ και $G(z) = (z-b_1) \cdots (z-b_r)$ αφού έχουν τους ίδιους ακριβώς συντελεστές. [Από τις ταυτότητες του Νέυτωνα τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα μπορούν να εκφραστούν συναρτήσεις των αθροισμάτων των δυνάμεων των μεταβλητών τα οποία και γνωρίζουμε και είναι ίσα για τις δύο ομάδες μεταβλητών.]

Επομένως οι a_i

είναι μια μετάθεση των b_j

.

[Η λύση της άσκησης ουσιαστικά υπάρχει και εδώ αλλά την έγραψα μιας και γινόταν μόνο νύξη για το πως χρησιμοποιείται το identity theorem.]

Επεξεργασία (6/4/16): Όπως με ενημέρωσε ο Αντώνης Ζητρίδης η πιο πάνω λύση είναι λανθασμένη. Οι συναρτήσεις μου δεν ορίζονται στο μηδέν πόσω μάλλον να είναι και ολόμορφες εκεί. Επειδή το μηδέν είναι ουσιώδες σημείο ανωμαλίας, δεν βλέπω πως μπορεί να διορθωθεί το πιο πάνω επιχείρημα.

#4

Το πρόβλημα είναι από υπό έκδοση βιβλίο του R.Stanley, λήμμα 1.7, σελ. 15.

Απόδειξη: Θεωρούμε μιγαδικό αριθμό

με μέτρο αρκούντως κοντά στο 0. Πολλαπλασιάζοντας με $x^{\ell}$ για $\ell\geq 1$ και αθροίζοντας, από το άθροισμα συγκλίνουσας γεωμετρικής προόδου παίρνουμε

$\displaystyle{ \dfrac{\alpha_1x}{1-\alpha_1x}+\cdots+\dfrac{\alpha_rx}{1-\alpha_rx}=\dfrac{\beta_1x}{1-\beta_1x}+\cdots+\dfrac{\beta_sx}{1-\beta_sx} }$

Απαλοίφοντας τους παρανομαστές παίρνουμε μια ισότητα πολυωνύμων που ισχύει για άπειρους μιγαδικούς αριθμούς, κι άρα η παραπάνω ισχύει για όλα τα $x\in \mathbb{C}$ εκτός από αυτά που μηδενίζουν τους παρανομαστές.

Έστω $\gamma\ne0$ μιγαδικός αριθμός. Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση με $1-\gamma x$ και αφήνοντας το $x\to 1/\gamma$ , το αριστερό μέρος μας δίνει τον αριθμό των $\alpha_i$ που ισούνται με το $\gamma$ , ενώ το δεξί μέρος μας δίνει τον αριθμό των $\beta_j$ που ισούνται με το $\gamma$ . Οι αριθμοί αυτοί συμφωνούν για όλα τα $\gamma$ , κι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Για την αντιγραφή: Αχιλλέας Συνεφακόπουλος

algal · #5

Αλλιώς!

Αν υποθέσουμε ότι το πλήθος

των

είναι μεγαλύτερο από το πλήθος

των

τότε συμπληρώνουμε με μηδενικά το δεύτερο μέλος έτσι ώστε:
${a_1}^l+{a_2}^l+...+{a_r}^l={b_1}^l+{b_2}^l+...{b_r}^l$ όπου $b_{s+1}=b_{s+2}=...b_r=0$ .
Ισχυρισμός
Ισχυρίζομαι ότι από το σύστημα:
a_1+a_2+...+a_r=b_1+b_2+...+b_r

${a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_r}^2={b_1}^2+{b_2}^2+...{b_r}^2$

${a_1}^l+{a_2}^l+...+{a_r}^l={b_1}^l+{b_2}^l+...{b_r}^l$
έπεται ότι ισούνται τα αθροίσματα των γινομένων ανά

για κάθε

.

παράδειγμα
Αν r=3

και

έχω:

${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2={b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2$
${a_1}^3+{a_2}^3+{a_3}^3={b_1}^3+{b_2}^3+{b_3}^3$
Σύμφωνα με τον ισχυρισμό από το παραπάνω σύστημα μπορώ να βγάλω ότι:
a_1 a_2+a_2 a_3+a_3 a_1=b_1 b_2+b_2 b_3+b_3 b_1

και

το οποίο μπορώ να ελέγξω ότι ισχύει με απλές ταυτότητες

Επιστρέφουμε στη γενική περίπτωση του ισχυρισμού η οποία αποδεικνύεται με τη βοήθεια των ταυτοτήτων Newton

(για περισσότερα για τις ταυτότητες Newton

εδώ: http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities).
Αν τώρα επιλέξω δυο πολυώνυμα f(x),g(x)

στο σώμα των μιγαδικών αριθμών με το f(x)

να έχει μοναδικές ρίζες όλα τα a_i

και το

μοναδικές ρίζες όλα τα b_i

τότε φτιάχνουμε δυο πολυώνυμα

βαθμού. Σύμφωνα όμως με τον ισχυρισμό από τους τύπους του Vieta

οι συντελεστές των ομοιοβάθμων όρων είναι ίσοι, δηλαδή τελικά f(x)=g(x)

. Εφόσον λοιπόν τα πολυώνυμα είναι τα ίδια τότε θα έχουν και ακριβώς τις ίδιες ρίζες, επομένως το ζητούμενο δείχθηκε.

Μιγαδικοί αριθμοί

Μιγαδικοί αριθμοί

Re: Μιγαδικοί αριθμοί

Re: Μιγαδικοί αριθμοί

Re: Μιγαδικοί αριθμοί

Re: Μιγαδικοί αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση