ΒΜΟ 2025-2026

Fotis34 · #1

Από 3 έως 8 Μαΐου πραγματοποιείται στη Θεσσαλονίκη η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Λυκείου. Σήμερα έγινε ο διαγωνισμός και, αν κάποιος έχει τα θέματα, ας τα αναρτήσει.

Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά που εκπροσωπούν τη χώρα μας! Εύχομαι όμορφα αποτελέσματα και να χαρούν αυτή τη σημαντική εμπειρία

!!!

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ · #2

Πρόβλημα 1
Ένα σύνολο

θετικών πραγματικών αριθμών ονομάζεται Αριστοτέλειο αν για οποιαδήποτε $x, y, z \in S$ που ικανοποιούν τη σχέση x < y < z

, ισχύει ότι: $\displaystyle{\frac{z - x}{y} \in S}$ . Βρείτε όλους τους ακέραιους $n \geq 4$ για τους οποίους υπάρχει ένα Αριστοτέλειο σύνολο με ακριβώς

στοιχεία.
Πρόβλημα 2
Έστω

ένας θετικός ακέραιος. Ένας πίνακας $2n \times 2n$ καλύπτεται με ντόμινο διαστάσεων $2 \times 1$ και $1 \times 2$ . Το να «περιστρέψουμε» (pivot) ένα ντόμινο σημαίνει να επιλέξουμε ένα από τα δύο τετραγωνίδια (μονάδες) που το αποτελούν και να περιστρέψουμε ολόκληρο το ντόμινο κατά $180^\circ$ , $90^\circ$ δεξιόστροφα ή $90^\circ$ αριστερόστροφα γύρω από το κέντρο αυτού του τετραγωνιδίου. Αποδείξτε ότι είναι πάντα δυνατό να περιστρέψουμε ταυτόχρονα κάθε ντόμινο με τέτοιο τρόπο ώστε, αφού πραγματοποιηθούν όλες οι περιστροφές, τα ντόμινο να εξακολουθούν να καλύπτουν πλήρως τον πίνακα.
Πρόβλημα 3
Έστω ABCD

ένα παραλληλόγραμμο με $\angle DAB < 90^\circ$ και AB < AD

. Έστω

το ορθόκεντρο του τριγώνου $\triangle BCD$ και

η αντανάκλαση του

ως προς τη γραμμή

. Η ευθεία

τέμνει τις ευθείες

,

και

στα σημεία E, F

και

αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\triangle HEH'$ και $\triangle CFG$ εφάπτονται.
Πρόβλημα 4
Έστω $n \geq 2$ ένας ακέραιος. Αρχικά, ο αριθμός

είναι γραμμένος

φορές σε έναν πίνακα. Μια πράξη συνίσταται στην επιλογή δύο αριθμών

και

που βρίσκονται εκείνη τη στιγμή στον πίνακα (όχι και οι δύο μηδέν) και στην αντικατάστασή τους με τους αριθμούς: $\displaystyle{\frac{(a - b)^2}{a + b} \quad$ και $\displaystyle{\quad \frac{4ab}{a + b}}$ . Προσδιορίστε όλους τους ακέραιους

για τους οποίους είναι δυνατόν, μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό πράξεων, ο αριθμός

να εμφανιστεί στον πίνακα.

Dimessi · #3

Είμαι από κινητό. Θα έρθω αύριο ή σήμερα το βράδυ για την πληκτρολόγηση.
Για το πρόβλημα 1 έστω x_1<x_2<x_3<x_4<...<x_n

τα διακεκριμένα στοιχεία του S, τότε αφού $\frac{x_n-x_1}{x_2}>\frac{x_n-x_1}{x_3}>...>\frac{x_n-x_{1}}{x_{n-1}}>\frac{x_n-x_2}{x_{n-1}}>\frac {x_n-x_3}{x_{n-1}}>...>\frac {x_n-x_{n-2}}{x_{n-1}}$ είναι διακεκριμένα στοιχεία του S , άρα $n\geqslant 2n-5$ οπότε $n\leqslant 5.$
Για n=5 έχω λίγο γράψιμο ομολογώ και απορριπτεται και είναι n=4

Θα επιστρέψω όταν τελειώσει το ποδόσφαιρο να πληκτρολογησω

.

ΒΜΟ 2025-2026

ΒΜΟ 2025-2026

Re: ΒΜΟ 2025-2026

Re: ΒΜΟ 2025-2026

Μέλη σε σύνδεση