Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 15 Νοεμβρίου 2025
1. Μπορούμε άραγε να διαμερίσουμε ένα τετράγωνο
κατά κελιά σε 
ορθογώνια έτσι, ώστε από κάποια πέντε από αυτά να μπορούμε να σχηματίσουμε ορθογώνιο 
; (Τα ορθογώνια μπορούν και να περιστραφούν.) 2. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις θετικοί αριθμοί. Το γινόμενο του πρώτου και του δεύτερου αριθμού διαφέρουν από το μέσο όρο των τετραγώνων τους κατά
. Το γινόμενο του δεύτερου και του τρίτου διαφέρουν από το μέσο όρο των τετραγώνων τους κατά 
. Κατά πόσο μπορεί διαφέρει το γινόμενο του πρώτου και του τρίτου αριθμού από το μέσο όρο των τετραγώνων τους; Να βρείτε όλα τα δυνατά αποτελέσματα και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν άλλα.3. Στο κυρτό τετράπλευρο
τα εμβαδά των τριγώνων 
και 
είναι ίσα. Είναι γνωστό ότι 
. Το σημείο 
είναι το μέσο της πλευράς 
. Να αποδείξετε ότι 
.4. Ένα μη μηδενικός φυσικός αριθμός ονομάζεται ιδιάζον, αν υπάρχει τέτοια συλλογή
μη μηδενικών διαδοχικών φυσικών αριθμών, ώστε μεταξύ αυτών να υπάρχει ο αριθμός 
και κάθε άλλος αριθμός αυτής της συλλογής να είναι σχετικά πρώτος με τον . Ποιος μπορεί να είναι ο μέγιστος ΜΚΔ (μέγιστος κοινός διαιρέτης) δυο διαφορετικών ιδιαζουσών αριθμών, που δεν υπερβαίνουν το 
;5. Έστω
μια άπειρη γραμμή (σειρά) ψηφίων. Για ένα μη μηδενικό φυσικό αριθμό 
συμβολίζουμε με 
την άπειρη σειρά, που προκύπτει από την αρχική σειρά γράφοντας το 
οστό, 
οστό, 
οστό, 
οστό, … ψηφίο της. Είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε φυσικούς 
οι σειρές 
και 
δεν συμπίπτουν. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε για κάποιο 
η σειρά να συμπέσει με την 
;
από το 
στο 
.Τότε 
λόγω του δεδομένου : ''τα εμβαδά των τριγώνων 
παραλληλόγραμμο , αφού έχει δύο πλευρές παράλληλες και ίσες ,και άρα 
. Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο 
το 
ως διάμεσος είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή 
. Έχουμε λοιπόν 
, και από τριγωνική ανισότητα 
. Άρα το ζητούμενο