Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026 (11η τάξη, 1η φάση)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026
Θέματα της 1ης φάσης για την 11η τάξη, 15 Νοεμβρίου 2025

1. Μια ομάδα δεκαέξι ανθρακωρύχων εξορύσσει λιγνίτη. Όλοι τους δουλεύουν με την ίδια σταθερή ταχύτητα. Ο ανθρακωρύχος κ. Ανθρακίτης αποφάσισε να δώσει στην ομάδα το παράδειγμα και άρχισε να δουλεύει αρκετά πιο νωρίς από την έναρξη της εργάσιμης μέρας. Οι υπόλοιποι ανθρακωρύχοι προσέρχονταν με την σειρά, ο καθένας στην δικιά του ώρα. Ο τελευταίος ανθρακωρύχος προσήλθε στις 9:00

, όταν και θα έπρεπε να αρχίσει η εργάσιμη μέρα. Λόγω των υπερωριών στις 13:00

η ομάδα εξόρυξε τόσο λιγνίτη, όσο κατά το πλάνο, θα έπρεπε να εξορύξει στις 18:00

. (διαλείμματα στην δουλειά δεν υπήρχαν και δεν ήταν σχεδιασμένα.) Να αποδείξετε, ότι μεταξύ της προσέλευσης κάποιου ανθρακωρύχου και της προσέλευσης του επόμενου πέρασαν τουλάχιστον

λεπτά.

2. Τα σημεία X, Y

και

είναι τα μέσα των ακμών $AB, BB^{\prime}$ και $A^{\prime}B^{\prime}$ του παραλληλεπιπέδου $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ (όχι απαραίτητα ορθογωνίου). Είναι γνωστό ότι $AB^{\prime} \perp CY$ . Να αποδείξετε ότι DZ=CX

.

3. Θα ονομάσουμε ένα θετικό ακέραιο αριθμό

ενδιαφέρον, αν υπάρχει μια τέτοια συλλογή από $2 \cdot \left ( 100!\right)^{50}-105$ διαδοχικούς θετικούς ακέραιους, ώστε μεταξύ αυτών να υπάρχει ο

και καθένας από τους υπόλοιπους αριθμούς αυτής της συλλογής είναι σχετικά πρώτος με τον

. Να αποδείξετε ότι οποιοσδήποτε ενδιαφέρον αριθμός, μικρότερος του $(100!)^{100}$ , είναι πρώτος. (Με 100!

συμβολίζουμε το γινόμενο όλων των φυσικών από το

έως το

.)

4. Σε μια πόλη υπάρχουν μερικοί όμιλοι. Δυο ομίλους θα τους ονομάσουμε όμοιους, αν έχουν κοινό μέλος. Προέκυψε ότι ο κάθε όμιλος έχει ακριβώς δυο όμοιους ομίλους και κάθε κάτοικος της πόλης είναι μέλος είτε ενός ομίλου, είτε σε δυο όμοιους. Ο δήμαρχος έχει δυο λίστες. Στην πρώτη είναι γραμμένος ο αριθμός μελών κάθε ομίλου. Στην δεύτερη για κάθε δυο όμοιους ομίλους είναι γραμμένος ο αριθμός των κατοίκων, που είναι μέλη ταυτόχρονα και στους δύο. Προέκυψε ότι για κάθε αριθμό της πρώτης λίστας στην δεύτερη βρέθηκε κατά δυο φορές μικρότερος αριθμός. Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν δυο όμιλοι που έχουν τον ίδιο αριθμό μελών.

5. Ο Θοδωρής διαλέγει τέτοιους θετικούς ακέραιους $n, a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n}$ , ώστε $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \leq 2n$ . Ο Λευτέρης θέλει να τοποθετήσει σε ένα πίνακα με 2025

γραμμές και

στήλες

συνεκτικά τετραγωνισμένα σχήματα έτσι, ώστε τα σχήματα να μην έχουν κοινά κελιά και για όλα τα $i, 1\leq i \leq n$ , να ικανοποιείται η συνθήκη:

Το

στο σχήμα αποτελείται από $a_{i}$ κελιά
και περιέχει τουλάχιστον ένα κελί της

στης στήλης.

Μπορεί άραγε ο Θοδωρής να διαλέξει τέτοιους αριθμούς, ώστε ο Λευτέρης να μην μπορεί να υλοποιήσει αυτό που θέλει; (Ένα σχήμα ονομάζεται συνεκτικό, αν από ένα οποιοδήποτε κελί του μπορούμε να μεταβούμε σε οποιοδήποτε άλλο, μετακινούμενοι σε γειτονικό κατά πλευρά κελί χωρίς να βγαίνουμε από τα όρια του σχήματος.)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 20, 2025 12:25 am

2. Τα σημεία και είναι τα μέσα των ακμών $AB, BB^{\prime}$ και $A^{\prime}B^{\prime}$ του παραλληλεπιπέδου $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ (όχι απαραίτητα ορθογωνίου). Είναι γνωστό ότι $AB^{\prime} \perp CY$ . Να αποδείξετε ότι .

.

: Μαθ Ολ.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

.

Με διανύσματα.

Θέτουμε $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{c}$ .

Είναι τότε

$\overrightarrow{AB'}= 2\overrightarrow{a} +2\overrightarrow{c}$ και

$\overrightarrow{CY}= \overrightarrow{AY} -\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BY}) -(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})= (2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}) -(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c})=2\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}$

H συνθήκη $AB^{\prime} \perp CY$ γράφεται $(2\overrightarrow{a} +2\overrightarrow{c} )\cdot (2\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b})=0$

Ισοδύναμα μετά τις απλοποιήσεις $\boxed { \overrightarrow{c} ^2 +\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}-2\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}= 2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}$ (*)

Έχουμε τώρα

$\overrightarrow{CY}= \overrightarrow{AY} - \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{a}-(2\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}= -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}$ και

$\overrightarrow{DZ}= \overrightarrow{AZ} - \overrightarrow{AD}= (2 \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{a})-2 \overrightarrow{b}$

Άρα

$|\overrightarrow{DZ}|^2= (2 \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})\cdot (2 \overrightarrow{c}+ \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})= (4 \overrightarrow{c} ^2+ 4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c} -8\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}) + ( \overrightarrow{a} ^2+ 4\overrightarrow{b} ^2 -4 \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}) =$

$= ^{{\color {red} (*)} } 8\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+ ( \overrightarrow{a} ^2+ 4\overrightarrow{b} ^2 -4 \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})= (\overrightarrow{a} ^2+ 4\overrightarrow{b} ^2 +4 \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}= (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}) = | \overrightarrow{CY}| ^2$

από όπου το ζητούμενο.

αρψ2400 · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 20, 2025 12:25 am
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026
Θέματα της 1ης φάσης για την 11η τάξη, 15 Νοεμβρίου 2025

5. Ο Θοδωρής διαλέγει τέτοιους θετικούς ακέραιους $n, a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n}$ , ώστε $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \leq 2n$ . Ο Λευτέρης θέλει να τοποθετήσει σε ένα πίνακα με γραμμές και στήλες συνεκτικά τετραγωνισμένα σχήματα έτσι, ώστε τα σχήματα να μην έχουν κοινά κελιά και για όλα τα $i, 1\leq i \leq n$ , να ικανοποιείται η συνθήκη:

Το στο σχήμα αποτελείται από $a_{i}$ κελιά
και περιέχει τουλάχιστον ένα κελί της στης στήλης.

Μπορεί άραγε ο Θοδωρής να διαλέξει τέτοιους αριθμούς, ώστε ο Λευτέρης να μην μπορεί να υλοποιήσει αυτό που θέλει; (Ένα σχήμα ονομάζεται συνεκτικό, αν από ένα οποιοδήποτε κελί του μπορούμε να μεταβούμε σε οποιοδήποτε άλλο, μετακινούμενοι σε γειτονικό κατά πλευρά κελί χωρίς να βγαίνουμε από τα όρια του σχήματος.)

Μπορεί , αν και θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλοι.Μία επιλογή είναι:
n= 2025^3

, $a_{1}=1, a_{2}=1, \dots , a_{n-2025}=1,a_{n-2024}=2025^2+1, a_{n-2023}=2025^2+1, \dots , a_{n}=2025^2+1$ ,
$\sum a_{i}= n+2025^3 = 2n$ .
Τα συνεκτικά τετραγωνισμένα σχήματα από το (n-2024)

-οστό εώς το

-οστό , έχουν τετραγωνάκι στο τελευταίο τετράγωνο 2025

επί

, αλλά αναγκαστικά αφού δεν χωράνε σε αυτό έχοντας εμβαδόν 2025^2+1

,έχουν όλα ένα τουλάχιστον τετραγωνάκι στην στήλη n-2025

.Και επειδή είναι 2025

στον αριθμό δεν αφήνουν κανένα τετραγωνάκι στην n-2025

στήλη (των 2025

γραμμών) για το n-2025

-οστό σχήμα.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026 (11η τάξη, 1η φάση)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026 (11η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026 (11η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2026 (11η τάξη, 1η φάση)

Μέλη σε σύνδεση