Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (τάξη 9η, μέρα 1η)

[Al.Koutsouridis]

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της πρώτης μέρας για την 9η τάξη.

1. Σε ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτί φέρθηκαν μερικά τμήματα, παράλληλα προς τις πλευρές του. Αυτά τα τμήματα διαμέρισαν το ορθογώνιο σε μερικά κομμάτια, στο εσωτερικό των οποίων δεν υπάρχουν κομμάτια των τμημάτων που φέρθηκαν. Ο Γιώργος θέλει να φέρει σε κάθε ορθογώνιο της διαμέρισης μια διαγώνιο, χωρίζοντάς το σε δυο τρίγωνα και να χρωματίσει κάθε τρίγωνο είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Αληθεύει άραγε, ότι μπορεί απαραίτητα να το κάνει αυτό έτσι, ώστε κανένα ζεύγος τριγώνων ίδιου χρώματος να μην έχουν κοινό τμήμα (ως σύνορο);

2. Οι διαγώνιοι ενός κυρτού τετράπλευρου τέμνονται στο σημείο . Τα σημεία επαφής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και με τις κοινές εξωτερικές εφαπτόμενές τους βρίσκονται σε κύκλο . Τα σημεία επαφής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων και με τις κοινές εξωτερικές εφαπτόμενές τους βρίσκονται σε κύκλο . Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων και συμπίπτουν.

3. Να βρείτε όλους τους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς , για τους οποίους υπάρχει τέτοιος περιττός φυσικός αριθμός , ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.

4. Ένας σκακιστικός βασιλιάς τοποθετήθηκε σε ένα κελί ενός πίνακα και έγιναν κινήσεις με αυτόν έτσι, ώστε πέρασε από όλα τα κελιά και επέστρεψε στο αρχικό. Σε κάθε χρονική στιγμή υπολογίζεται η απόσταση από το κέντρο του κελιού στο οποίο βρίσκεται ο βασιλιάς, έως το κέντρο όλου του πίνακα. Θα ονομάσουμε μια κίνηση ευχάριστη, αν ως αποτέλεσμα της κίνησης αυτή η απόσταση έγινε μικρότερη από ότι προ της κίνησης. Να βρείτε τον μέγιστο δυνατό αριθμό ευχάριστων κινήσεων. (Ο σκακιστικός βασιλιάς με μια κίνηση κινείται σε γειτονικό κατά πλευρά ή γωνία κελί.)

[RoseBL]

Εξαιρετικά κομψά θέματα — ειδικά το πρώτο, που συνδυάζει γεωμετρία με καλλιτεχνική σκέψη!Agar.io Έξυπνα δομημένη μέρα, με όμορφη ισορροπία ανάμεσα σε λογική, συνδυαστική και γεωμετρική δημιουργικότητα.

[αρψ2400]

1. Σε ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτί φέρθηκαν μερικά τμήματα, παράλληλα προς τις πλευρές του. Αυτά τα τμήματα διαμέρισαν το ορθογώνιο σε μερικά κομμάτια, στο εσωτερικό των οποίων δεν υπάρχουν κομμάτια των τμημάτων που φέρθηκαν. Ο Γιώργος θέλει να φέρει σε κάθε ορθογώνιο της διαμέρισης μια διαγώνιο, χωρίζοντάς το σε δυο τρίγωνα και να χρωματίσει κάθε τρίγωνο είτε με λευκό, είτε με μαύρο χρώμα. Αληθεύει άραγε, ότι μπορεί απαραίτητα να το κάνει αυτό έτσι, ώστε κανένα ζεύγος τριγώνων ίδιου χρώματος να μην έχουν κοινό τμήμα (ως σύνορο);

Πρόβλημα 1ο

Επαγωγικά.Κάθε ορθογώνιο χωρισμένο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα άσπρο -μάυρο, στο επόμενο βήμα χωρίζεται σε δύο ορθογώνια που μπορούν να χωριστούν επίσης σε ορθογώνια τρίγωνα , που διατηρούν τον χρωματισμό στο εξωτερικό του αρχικού ορθογωνίου .(και μεταξύ τους δεν έχουν κοινό τμημα ίδιου χρώματος.)