Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2025 (τάξη 11η, μέρα 2η)

[Al.Koutsouridis]

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη.

1. Δίνεται ένας μη μηδενικός φυσικός αριθμός . Οι φυσικού αριθμοί γράφονται στον πίνακα σε μια γραμμή με κάποια διάταξη. Για κάθε δυο γειτονικούς αριθμούς υπολογίζεται ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους και γράφεται αυτός ο Μ.Κ.Δ. σε ένα φύλλο χαρτί. Ποιο είναι το μέγιστο πλήθος διαφορετικών αριθμών, που μπορεί να προκύψει μεταξύ αυτών των γραμμένων αριθμών στο φύλλο χαρτί;

2. Σε κύκλο είναι γραμμένες μονάδες. Ο Ανέστης και ο Λάμπρος παίζουν ένα παιχνίδι, ο καθένας τους κάνει από κινήσεις. Ο Ανέστης σε κάθε του κίνηση διαλέγει συνεχόμενους στην σειρά αριθμούς και μειώνει τον καθένας από αυτούς κατά . Ο Λάμπρος σε κάθε του κίνηση διαλέγει συνεχόμενους στην σειρά αριθμούς και αυξάνει τον καθένας τους κατά . Τα παιδιά παίζουν εναλλάξ, αρχίζει ο Ανέστης. Να αποδείξετε ότι ο Λάμπρος μπορεί να πράξει έτσι, ώστε μετά από κάθε του κίνηση μεταξύ των γραμμένων αριθμών να υπάρχουν τουλάχιστον πέντε θετικοί, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο Ανέστης.

3. Το τετράπλευρο , στο οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες πλευρές, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Στα τρίγωνα εγγράφονται οι κύκλοι αντίστοιχα. Φέρονται οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες των κύκλων και , και , και , και , που δεν περιέχουν τις πλευρές του τετράπλευρου . Το τετράπλευρο οι διαδοχικές πλευρές του οποίου βρίσκονται σε αυτές τις τέσσερεις ευθείες που φέρθηκαν (ακριβώς με αυτήν την σειρά), είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Να αποδείξετε ότι οι ευθείες, που περιέχουν τα κέντρα των κύκλων και , και , και , τέμνονται στο ίδιο σημείο.

4. Έστω μια συνεχής συνάρτηση. Θα ονομάσουμε χορδή, το ευθύγραμμο τμήμα ακέραιου μήκους, παράλληλο στον άξονα των τετμημένων, τα άκρα του οποίου βρίσκονται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης . Είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ακριβώς χορδές, εξάλλου μεταξύ αυτών υπάρχει χορδή μήκους . Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του .

[αρψ2400]

2. Σε κύκλο είναι γραμμένες 100 μονάδες. Ο Ανέστης και ο Λάμπρος παίζουν ένα παιχνίδι, ο καθένας τους κάνει από 10^{10} κινήσεις. Ο Ανέστης σε κάθε του κίνηση διαλέγει 9 συνεχόμενους στην σειρά αριθμούς και μειώνει τον καθένας από αυτούς κατά 2. Ο Λάμπρος σε κάθε του κίνηση διαλέγει 10 συνεχόμενους στην σειρά αριθμούς και αυξάνει τον καθένας τους κατά 1. Τα παιδιά παίζουν εναλλάξ, αρχίζει ο Ανέστης. Να αποδείξετε ότι ο Λάμπρος μπορεί να πράξει έτσι, ώστε μετά από κάθε του κίνηση μεταξύ των 100 γραμμένων αριθμών να υπάρχουν τουλάχιστον πέντε θετικοί, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο Ανέστης.

Πρόβλημα 2ο.
Παρότι αθροιστικά σε κάθε γύρο έχουμε μία μείωση 8 μονάδων ,ο Λάμπρος μπορεί να κρατάει 5 θετικούς μετά από κάθε δική του κίνηση. Η στρατηγική βασίζεται στην εξής ιδέα: Σε μία σειρά 10 θέσεων , η πρώτη και ο τελευταία , μετά από ζυγό αριθμό κινήσεων Ανέστης -Λάμπρος - Ανέστης -Λάμπρος κ.τ.λ. διατηρούν το άθροισμα τους ,ενώ μετά από μονό μειώνονται κατά 2 .Πράγματι , σε κάθε κίνηση ο Ανέστης μπορεί να αφαιρεί 2 μονάδες σε μία από τις δύο , (με το εύρος των 9 συνεχόμενων αριθμών) ,δηλαδή 2 αθροιστικά ,ενώ ο Λάμπρος να προσθέτει 1+1 και στις δύο θέσεις (με το εύρος των 10 συνεχόμενων αριθμών) ,δηλαδή 2 αθροιστικά. Μπορεί έτσι ο Λάμπρος να διατηρεί κάποιον από τους δύο αριθμούς θετικούς ,διατηρώντας το αρχικό άθροισμα 1+1=2.(Θετικό άθροισμα σημαίνει θετικό τον ένα από τους δύο προσθετέους τουλάχιστον). Άρα αν έχουμε 5 τέτοια block ο Λάμπρος θα μπορεί να διατηρεί τουλάχιστον πέντε θετικούς μετά από κάθε δική του κίνηση, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο Ανέστης. Προσοχή όμως γιατί δεν θα πρέπει να επιτρέψουμε στον Ανέστη να αφαιρεί δύο μονάδες από 2 τέτοια κρίσιμα σημεία σε καθένα από τα 5 blocks.Θα πρέπει γι αυτό να φροντίσουμε να διαχωρίζονται μεταξύ τους από 8 θέσεις .Έτσι τα 5 block με τις κρίσιμες ακραίες θέσεις μπορεί να είναι τα 1-10 , 19 -28 , 37 -46 , 55 -64 , 73 -82 .