IMO 2024

[Al.Koutsouridis]

65η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα
11-22 Ιουλίου 2024, Μπαθ, Ηνωμένο Βασίλειο.

Πρώτη Μέρα

Πρόβλημα 1. Να προσδιορίσετε όλους τους πραγματικούς αριθμούς που είναι τέτοιοι, ώστε για κάθε θετικό ακέραιο , ο ακέραιος



είναι πολλαπλάσιος του . (Με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος ή ίσος του . Για παράδειγμα, και .)


Πρόβλημα 2. Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων , για τα οποία υπάρχουν θετικοί
ακέραιοι και τέτοιοι, ώστε η ισότητα



να ισχύει για κάθε ακέραιο . (Με συμβολίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των ακεραίων και .)


Πρόβλημα 3. Έστω μία άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων και ένας θετικός ακέραιος. Υποθέτουμε ότι για κάθε , ο ακέραιος είναι ίσος με το πλήθος των φορών που εμφανίζεται ο ακέραιος στη λίστα .
Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον μία από τις ακολουθίες και είναι τελικά περιοδική. (Μια άπειρη ακολουθία ονομάζεται τελικά περιοδική, αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι και τέτοιοι, ώστε για κάθε .)

Δεύτερη μέρα

Πρόβλημα 4. Έστω ένα τρίγωνο με . Έστω το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου . Έστω το σημείο στην ευθεία , διαφορετικό του , που είναι τέτοιο, ώστε η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην ευθεία να είναι εφαπτομένη στον κύκλο . Ομοίως, έστω το σημείο στην ευθεία , διαφορετικό του , που είναι τέτοιο, ώστε η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην ευθεία να είναι εφαπτομένη στον κύκλο . Έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ξανά στο σημείο . Έστω και τα μέσα των πλευρών και , αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι .


Πρόβλημα 5. Ο Τούρμπο το σαλιγκάρι παίζει ένα παιγνίδι σε έναν πίνακα με οριζόντιες γραμμές και κατακόρυφες στήλες. Υπάρχουν κρυμμένα τέρατα σε κελιά του πίνακα. Αρχικά, ο Τούρμπο δεν γνωρίζει κανένα από τα κελιά που βρίσκονται τα τέρατα, αλλά γνωρίζει ότι υπάρχει ακριβώς ένα τέρας σε κάθε οριζόντια γραμμή εκτός από την πρώτη γραμμή και την τελευταία γραμμή, και ότι κάθε κατακόρυφη στήλη περιέχει το πολύ ένα τέρας.

Ο Τούρμπο κάνει μία σειρά προσπαθειών για να πάει από την πρώτη γραμμή στη τελευταία γραμμή. Σε κάθε προσπάθεια, επιλέγει να αρχίσει από οποιοδήποτε κελί της πρώτης γραμμής και στη συνέχεια κινείται επανειλημμένα σε ένα γειτονικό κελί που έχει μία κοινή πλευρά με το κελί στο οποίο βρίσκεται. (Επιτρέπεται να επιστρέψει σε ένα κελί που είχε επισκεφθεί νωρίτερα.) Αν φθάσει σε ένα κελί που περιέχει κάποιο τέρας, η προσπάθειά του τελειώνει και μεταφέρεται στην πρώτη γραμμή για να αρχίσει μία καινούρια προσπάθεια. Τα τέρατα δεν μετακινούνται και ο Τούρμπο θυμάται για κάθε κελί που έχει επισκεφθεί αν περιέχει τέρας ή όχι. Αν φθάσει σε οποιοδήποτε κελί της τελευταίας γραμμής, τότε η προσπάθεια του τελειώνει και το παιγνίδι τερματίζεται.

Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του για την οποία ο Τούρμπο έχει μία στρατηγική που του εγγυάται ότι θα φθάσει στην τελευταία γραμμή κατά την -οστή προσπάθεια ή νωρίτερα, ανεξάρτητα από τις θέσεις που βρίσκονται τα τέρατα.


Πρόβλημα 6. Έστω το σύνολο των ρητών αριθμών. Μία συνάρτηση λέγεται υδροθερμική, αν ικανοποιείται η ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε ισχύει τουλάχιστον μία από τις ισότητες

ή .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος τέτοιος, ώστε για κάθε υδροθερμική συνάρτηση να υπάρχουν το πολύ διαφορετικοί ρητοί αριθμοί που γράφονται στη μορφή για κάποιο ρητό αριθμό , και να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του .


Πηγή: https://www.imo-official.org/problems.aspx

[Al.Koutsouridis]

Καλά αποτελέσματα στις ελληνικές ομάδες. Τα θέματα είναι αρκετά «εξωτικά» για μας τους κοινούς θνητούς . Οι ελληνικές ομάδες συνήθως τα πάνε καλά στις συναρτησιακές εξισώσεις, θα έχει ενδιαφέρον να δούμε τα αποτελέσματα στο δύσκολο πρόβλημα 6, μεταξύ άλλων.

[Mihalis_Lambrou]

Καλά αποτελέσματα στα απίθανα παιδιά μας.

[S.E.Louridas]

65η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα
11-22 Ιουλίου 2024, Μπαθ, Ηνωμένο Βασίλειο.
Πρόβλημα 4. Έστω ένα τρίγωνο με . Έστω το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου . Έστω το σημείο στην ευθεία , διαφορετικό του , που είναι τέτοιο, ώστε η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην ευθεία να είναι εφαπτομένη στον κύκλο . Ομοίως, έστω το σημείο στην ευθεία , διαφορετικό του , που είναι τέτοιο, ώστε η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην ευθεία να είναι εφαπτομένη στον κύκλο . Έστω ότι η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ξανά στο σημείο . Έστω και τα μέσα των πλευρών και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι .

Όμορφο θέμα.

Μία διαπραγμάτευση με επιφύλαξη μήπως έχει ξεφύγει κάτι λόγω ταχυτήτων.


Παρατηρούμε ότι από τη κατασκευή των πραγμάτων σχηματίζεται ο ρόμβος

Επειδή έχουμε τους κύκλους

Παρατηρώντας τις παραλληλίες λόγω των σημειούμενων μέσων, τελικά προκύπτει

imo.png (54.22 KiB) Προβλήθηκε 3003 φορές

[S.E.Louridas]

Εύχομαι από καρδιάς Καλά Αποτελέσματα στα υπέροχα Μαθηματικά Ελληνικά Νιάτα που Διαγωνίστηκαν και Καλή Επάνοδο στη Πατρίδα.

[Al.Koutsouridis]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδία καθώς όλοι διακρίθηκαν. Πολύ σημαντικό ότι στα σχετικά "εύκολα" θέματα 1 και 4 η ομάδα είχε το απόλυτο των πόντων με 42/42, πράγμα που σημαίνει ότι το επίπεδο της ομάδας είναι υψηλό αλλά και γίνεται προετοιμασία προς στην σωστή κατεύθυνση. Και η κυπριακή ομάδα είχε ένα από τα καλύτερα αποτελέσματα στις ΔΜΟ.

Screenshot 2024-07-20 at 14.10.56.png (257 KiB) Προβλήθηκε 2730 φορές

[S.E.Louridas]

Άριστη απόδοση ΝΑΙ με ΟΛΑ τα Μαθηματικά Αστέρια της εξάδας να έχουν Μετάλλιο ΙΜΟ !!!!!!!!.
Συγχαρητήρια πολλά και ειλικρινή στην ομάδα μας και καλή επάνοδο στη πατρίδα.
Καλή συνέχεια με ακόμα μεγαλύτερες επιτυχίες.

Κάποιες Σκέψεις:
Τα θέματα Πρώτο και Δεύτερο ανήκουν στην Θεωρία Αριθμών που η βάση της είναι στην Αρχαία Ελλάδα (και υπερηφανευόμαστε για αυτό), που όμως στις μέρες μας στην γαλάζια Ελλάδα μας με τον λαμπρό της ήλιο είναι Απούσα από την Μέση εκπαίδευση.
Το Tέταρτο θέμα είναι από την Ευκλείδεια Γεωμετρία που επίσης η βάση της είναι στην Αρχαία Ελλάδα (και υπερηφανευόμαστε για αυτό), που όμως στις μέρες μας στην γαλάζια Ελλάδα μας με τον λαμπρό της ήλιο είναι Αφύσικα υποβαθμισμένη στην Μέση εκπαίδευση. Απλά και μόνο ... τι να πει κανείς ... Επίσης μου φαίνεται κάπως περίεργο που αντί για δύο θέματα Γεωμετρίας που συνήθως υπήρχαν στους διαγωνισμούς ΙΜΟ, φέτος μπήκε μόνο ένα ...

[ksofsa]

Πολλά συγχαρητήρια σε όλη την ομάδα!!

[mick7]

Βάζω και μια στατιστική ανάλυση απο μια ΑΙ (απο τις πολλές που υπάρχουν εκεί έξω)

Participation:

Total number of participating countries: 108
Most countries sent teams of 6 participants


Gender Distribution:

Many countries had all-male teams
Some countries had mixed teams
Only Oman sent an all-female team (6 females)


Performance:


Top 5 countries by total score:

USA (192 points)
China (190 points)
Korea (168 points)
India (167 points)
Belarus (165 points)


Lowest scoring countries:

Honduras (1 point)
United Arab Emirates (1 point)
Ghana (4 points)
Oman (4 points)




Problem difficulty:

P1 and P4 seem to be the easiest problems, with many countries scoring full points (42)
P3 and P6 appear to be the most difficult, with generally lower scores


Awards:

Gold medals (G): 42 countries received at least one
Silver medals (S): 62 countries received at least one
Bronze medals (B): 72 countries received at least one
Honorable Mentions (HM): 70 countries received at least one


Perfect scores:

13 countries had at least one participant with a perfect score on P1
3 countries (China, Mongolia, Romania) had perfect scores on P2
No perfect scores on P3
12 countries had at least one participant with a perfect score on P4
No perfect scores on P5 or P6


Correlation:

There seems to be a strong correlation between total score and rank, as expected
Countries with higher total scores tend to receive more gold and silver medals


Regional performance:

East Asian countries (China, Korea, Singapore) perform very well
Eastern European countries (Belarus, Hungary, Poland) also show strong performance
Western European and North American countries show mixed results


Team composition:

Most top-performing countries have predominantly or entirely male teams
Some countries with mixed-gender teams also perform well (e.g., USA, Turkey, Romania)

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου μία στατιστική σκοπιμότητας υπέρ των Ελληνικών Μαθηματικών ταλέντων και των προπονητών τους.

Κοιτώντας τα αποτελέσματα με βαθμολογία που αντιστοιχεί σε θέματα από τα έξι ένας διαγωνιζόμενος παίρνει διεθνές
μετάλλιο, υψηλής κατοχύρωσης αλλά και χρησιμότητας.
Αυτό δεν το λέω στέλνοντας κάποιο κακοπροαίρετο μήνυμα, αφού οι διαγωνισμοί αυτοί (ΕΜΕ, ΒΜΟ, ΙΜΟ, ΜΜΟ κτλ.) είναι υψηλού κύρους
και απόλυτα αξιοκρατικοί.
Το λέω για να απελευθερωθούν οι δυνάμεις του καλού μαθητή στα μαθηματικά και να εισέρθει με πίστη στο πανέμορφο μονοπάτι που οδηγεί
στην επιλογή της εξάδας αφού το διεθνές μετάλλιο δεν αποτελεί άπιαστο όνειρο για το μυαλουδάκι στα μαθηματικά σε συνδυασμό
με την αγάπη του για αυτά.
Δηλαδή αν κάποιος στο διαγωνισμό αυτό είχε πάει καλά πχ. στην θεωρία αριθμών (προφανώς όχι αναγκαστικά άριστα) και στη γεωμετρία και
έγραφε και κάτι ψηλά από κάποια από τα άλλα θέματα θα είχε σε πολύ μεγάλο ποσοστό μετάλλιο.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Συγχαρητήρια στα παιδιά , , στους γονείς και τους εκπαιδευτές τους

[Άρης Μερσιέ]

Πολλά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!

[gbaloglou]

Βάζω και μια στατιστική ανάλυση απο μια ΑΙ (απο τις πολλές που υπάρχουν εκεί έξω)

Participation:

Total number of participating countries: 108
Most countries sent teams of 6 participants


Gender Distribution:

Many countries had all-male teams
Some countries had mixed teams
Only Oman sent an all-female team (6 females)


Performance:


Top 5 countries by total score:

USA (192 points)
China (190 points)
Korea (168 points)
India (167 points)
Belarus (165 points)


Lowest scoring countries:

Honduras (1 point)
United Arab Emirates (1 point)
Ghana (4 points)
Oman (4 points)




Problem difficulty:

P1 and P4 seem to be the easiest problems, with many countries scoring full points (42)
P3 and P6 appear to be the most difficult, with generally lower scores


Awards:

Gold medals (G): 42 countries received at least one
Silver medals (S): 62 countries received at least one
Bronze medals (B): 72 countries received at least one
Honorable Mentions (HM): 70 countries received at least one


Perfect scores:

13 countries had at least one participant with a perfect score on P1
3 countries (China, Mongolia, Romania) had perfect scores on P2
No perfect scores on P3
12 countries had at least one participant with a perfect score on P4
No perfect scores on P5 or P6


Correlation:

There seems to be a strong correlation between total score and rank, as expected
Countries with higher total scores tend to receive more gold and silver medals


Regional performance:

East Asian countries (China, Korea, Singapore) perform very well
Eastern European countries (Belarus, Hungary, Poland) also show strong performance
Western European and North American countries show mixed results


Team composition:

Most top-performing countries have predominantly or entirely male teams
Some countries with mixed-gender teams also perform well (e.g., USA, Turkey, Romania)

Γιατί γράφουν ότι δεν υπήρξε perfect score στα P3, P5, P6 ... την στιγμή πχ που δύο συμμετέχοντες έχουν 42/42;! Στα άλλα στατιστικά σημειώνω την γυναικοκρατία (6/6!!!) του Ομάν, ενώ από δικής μου πλευράς χαιρετίζω την πρωτιά των ΗΠΑ (έστω και αν έχουν πολλούς Κινεζικής καταγωγής διαγωνιζόμενους) και το ότι το Ισραήλ ξεπέρασε το Ιράν. Στα δικά μας είναι πολύ ευχάριστο το ότι και οι 6 διαγωνιζόμενοι μας πήραν μετάλλιο, δεν ξέρω πόσες φορές συνέβη αυτό στο παρελθόν*, θερμά συγχαρητήρια σε όλους!

*δύο φορές (1996 και 2017), όπως βλέπω εδώ: https://www.imo-official.org/country_te ... x?code=HEL

[Al.Koutsouridis]

Γιατί γράφουν ότι δεν υπήρξε perfect score στα P3, P5, P6 ... την στιγμή πχ που δύο συμμετέχοντες έχουν 42/42;! Στα άλλα στατιστικά σημειώνω την γυναικοκρατία (6/6!!!) του Ομάν, ενώ από δικής μου πλευράς χαιρετίζω την πρωτιά των ΗΠΑ (έστω και αν έχουν πολλούς Κινεζικής καταγωγής διαγωνιζόμενους) και το ότι το Ισραήλ ξεπέρασε το Ιράν. Στα δικά μας είναι πολύ ευχάριστο το ότι και οι 6 διαγωνιζόμενοι μας πήραν μετάλλιο, δεν ξέρω πόσες φορές συνέβη αυτό στο παρελθόν, θερμά συγχαρητήρια σε όλους!

Εννοείται απόλυτο των βαθμών ως χώρα και όχι ατομικά. Δηλαδή καμιά χώρα δεν συγκέντρωσε 42/42 για τα θέματα 3, 5 και 6.

Επίσης μόνο ένας μαθητής από την Κίνα έγραψε 42/42 (απόλυτος νικητής), ένας μαθητής από την Ρωσία 40/42 (ατομικά όχι σαν ομάδα), τρίτος ένας μαθητής από τις ΗΠΑ με 38/42 ακολουθούμενος από μηθητή της Ιαπωνίας με 37/42. Ο Κυριάκος Τσουρέκας το χρυσό μετάλλιο της ομάδα μας, που είναι και μέλος του φόρουμ, κατέλαβε την 29η θέση, που είναι πολύ υψηλή επίδοση.

Σαν μικρή παρένθεση εδώ μου έκανε εντύπωση που ο Κυριάκος Τσουρέκας καθώς και ο Μπερκουτάκης Νεκτάριος δεν ήταν μέλη της ομάδας στην Βαλκανιάδα παρ' όλ' αυτά κατάφεραν καλά αποτελέσματα στην ΔΜΟ. Δεν γνωρίζω τους λόγους, οπότε χωρίς να θέλω υπονοήσω κάτι, αλλά σαν ερώτηση, απορία. Γιατί οι προκριματικοί διαγωνισμοί στην χώρα μας δεν γίνονται με το φορμάτ της ΔΜΟ δηλαδή σε δυο μέρες με τρία θέματα ανά μέρα και με 4,5 ώρες εξέταση;

Ένα άλλο σημείο είναι το πόσο σημαντικό είναι κανείς να παίρνει 1,2 βαθμούς και από τα προβλήματα που δεν μπόρεσε να λύσει. Άλλες χώρες κάνουν ειδική προπόνηση πάνω σε αυτό. Για παράδειγμα στην περίπτωση των Κυριάκου, Ορέστη και Νεκτάριου οι βαθμοί που "τσίμπησαν" από τα υπόλοιπα προβλήματα, άλλαξαν το χρώμα του μεταλλίου τους.

[gbaloglou]

Γιατί γράφουν ότι δεν υπήρξε perfect score στα P3, P5, P6 ... την στιγμή πχ που δύο συμμετέχοντες έχουν 42/42;! Στα άλλα στατιστικά σημειώνω την γυναικοκρατία (6/6!!!) του Ομάν, ενώ από δικής μου πλευράς χαιρετίζω την πρωτιά των ΗΠΑ (έστω και αν έχουν πολλούς Κινεζικής καταγωγής διαγωνιζόμενους) και το ότι το Ισραήλ ξεπέρασε το Ιράν. Στα δικά μας είναι πολύ ευχάριστο το ότι και οι 6 διαγωνιζόμενοι μας πήραν μετάλλιο, δεν ξέρω πόσες φορές συνέβη αυτό στο παρελθόν, θερμά συγχαρητήρια σε όλους!

Εννοείται απόλυτο των βαθμών ως χώρα και όχι ατομικά. Δηλαδή καμιά χώρα δεν συγκέντρωσε 42/42 για τα θέματα 3, 5 και 6.

To σκέφτηκα αυτό, με παρέσυρε όμως τελικά ο τρόπος που το έθεσε ... η μηχανή:

13 countries had at least one participant with a perfect score on P1
3 countries (China, Mongolia, Romania) had perfect scores on P2
No perfect scores on P3
12 countries had at least one participant with a perfect score on P4
No perfect scores on P5 or P6

Δηλαδή: για κάποιον λόγο, η μηχανή για τα μεν Ρ1 και Ρ4 ασχολείται με το αν έστω ένα μέλος της ομάδας έγραψε 7/7 στο συγκεκριμένο πρόβλημα ("13 countries had at least pne participant wirh a perfect score on P1", "12 countries had at least pne participant wirh a perfect score on P4"). ενώ για το Ρ2 όντως η μηχανή ασχολείται με το αν η ομάδα είχε 42/42 στο συγκεκριμένο πρόβλημα ("3 countries had perfect scores on P2").

[Οπότε φεύγουμε από τα της ΙΜΟ 2024 και πάμε στα της τεχνητής νοημοσύνης...]