Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024.

1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους, ώστε . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)

2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το έως το ) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)

3. Δίνεται ένα τετράπλευρο , στο οποίο . Είναι γνωστό, ότι οι κορυφές και μαζί με τα μέσα των πλευρών και είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι κορυφές και μαζί με τα μέσα των πλευρών και θα είναι επίσης ομοκυκλικά. (Α. Κουζνέτσοβ)

4. Να βρείτε όλες τις τριάδες (όχι απαραίτητα διαφορετικών) μη μηδενικών φυσικών αριθμών τέτοιων, ώστε κάθε ένας εκ των αριθμών να είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού . (Α. Τσιρόνοβ, Ι. Μπογκντάνοβ)

5. Καθένας εκ των ατόμων είναι είτε ιππότης, είτε αυλικός. Μερικοί από αυτούς είναι φίλοι μεταξύ τους, η φιλία είναι αμοιβαία. Τον καθέναν τους τον ρώτησαν για τον αριθμό των φίλων του, και όλες οι απαντήσεις προέκυψαν διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί από το έως το . Είναι γνωστό, ότι όλοι οι ιππότες έδωσαν αληθή απάντηση στην ερώτηση, αλλά όλοι οι αυλικοί άλλαξαν την αληθή απάντηση ακριβώς κατά . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αυλικών, που μπορεί να υπάρξει μεταξύ αυτών των ατόμων; (Ια. Σούμπιν, Γκ. Σούμπιν)

[vgreco]

1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους, ώστε . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)

Ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου είναι ψευδής.

Πράγματι, παρατηρώ πως:



με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν . Επομένως:



με την ισότητα να ισχύει όταν , πράγμα άτοπο, αφού οι , , είναι διαφορετικοί ανά δύο.

[mick7]

Ίσως να μην έχω καταλάβει κάτι στο παρακάτω αλλά ένα παράδειγμα είναι ο .
Κάτι μάλλον απλοϊκό για διαγωνισμό.

2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το έως το ) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)

[abfx]

Ίσως να μην έχω καταλάβει κάτι στο παρακάτω αλλά ένα παράδειγμα είναι ο .
Κάτι μάλλον απλοϊκό για διαγωνισμό.

Καλησπέρα.

Ακριβέστερα έχουμε τους διαδοχικούς . Τα ψηφία χρησιμοποιούνται στην αρχή σε κάθε έναν από τους αριθμούς, ενώ καθένα από αυτά εμφανίζεται άλλη μια φορά ως τελευταίο ψηφίο. Δηλαδή όλα χρησιμοποιούνται από φορές συνολικά.

[mick7]

Ευχαριστώ τώρα το καταλαβα. Δηλαδή είναι οι Χ0,Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8,Χ9 όπου .

Αλλά είναι μόνο αυτός η βάση η όλοι οι συνδυασμοί των ψηφίων απο 0 έως 9 χωρίς το 0 στην πρώτη θέση...?

Καλησπέρα.

Ακριβέστερα έχουμε τους διαδοχικούς . Τα ψηφία χρησιμοποιούνται στην αρχή σε κάθε έναν από τους αριθμούς, ενώ καθένα από αυτά εμφανίζεται άλλη μια φορά ως τελευταίο ψηφίο. Δηλαδή όλα χρησιμοποιούνται από φορές συνολικά.

[abfx]

Ευχαριστώ τώρα το καταλαβα. Δηλαδή είναι οι Χ0,Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8,Χ9 όπου .

Αλλά είναι μόνο αυτός η βάση η όλοι οι συνδυασμοί των ψηφίων απο 0 έως 9 χωρίς το 0 στην πρώτη θέση...?

Φυσικά και η δεν είναι μοναδική επιλογή για το . Όπως σωστά γράφετε μπορούμε να αναδιατάξουμε τα

ψηφία , με τρόπο ώστε το να μη βρίσκεται στην πρώτη θέση. Παραδείγματος χάριν .

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες ακόμα επιλογές για το : μπορούμε να επαναλάβουμε αυτήν τη δεκάδα ψηφίων

όσες φορές θέλουμε. Για παράδειγμα ή .

Ενδιαφέρον έχει τώρα το ερώτημα (δεν έχω απάντηση) αν όλα τα παραδείγματα είναι αυτής της μορφής, δηλαδή για κατάλληλο (ή ισοδύναμα της μορφής ).

[abfx]

Ενδιαφέρον έχει τώρα το ερώτημα (δεν έχω απάντηση) αν όλα τα παραδείγματα είναι αυτής της μορφής, δηλαδή για κατάλληλο (ή ισοδύναμα της μορφής ).

Λοιπόν, η απάντηση είναι θετική. Συγκεκριμένα, αν τέτοιο ώστε στη δεκαδική αναπαράσταση (χωρίς μηδενικά στην αρχή)

των να εμφανίζεται κάθε ψηφίο ίδιο αριθμό φορών με κάθε άλλο, τότε , για .

Η απόδειξη που έχω κατά νου είναι αρκετά απλή στην ιδέα αλλά λίγο άκομψη. Θα τη γράψω, αν μου ζητηθεί.

Σημειώνω ότι από το παραπάνω εύκολα βρίσκουμε τη "μορφή" του και παίρνουμε χαρακτηρισμό για το .