Άλλη μία με συγγραμμικά σημεία

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

thepigod762 · #2

Ισχύει το ακόλουθο λήμμα:
Σε ένα εγγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο ABCDE F

οι διαγώνιοι συντρέχουν αν και μόνο αν $\dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{CD}{DE}\cdot\dfrac{FE}{EA}=1$ .

Πράγματι, από τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος Ceva για το τρίγωνο ACE

παίρνουμε ότι οι AD, CF, EB

συντρέχουν ανν $\dfrac{\sin{\angle DAE}\cdot \sin{\angle ACF}\cdot\sin{\angle CEB}}{\sin{\angle CAD}\cdot \sin{\angle FCE}\cdot\sin{\angle BEA}}=1$ και από νόμο ημιτόνων (αφού $\frac{\sin{\angle DAE}}{DE}=2R$ κ.λπ.) παίρνουμε άμεσα το αποδεικτέο.

Στο πρόβλημα τώρα, έστω S, Q, R

οι τομές των AD, BE, CF

με τον

, αντίστοιχα.

Τα τρίγωνα F'SA

και

είναι όμοια, απ' όπου $\dfrac{F'S}{FD} = \dfrac{AS}{AF}$ .

Όμοια παίρνουμε $\dfrac{SE'}{DE} = \dfrac{AS}{AE}.$

Διαιρώντας τις δυο πιο πάνω: $\dfrac{F'S}{SE'} = \dfrac{FD}{DE} \cdot \dfrac{AE}{AF}$ .

Δουλεύοντας όμοια και για τους άλλους λόγους: $\dfrac{RE'}{RD'} = \dfrac{EF}{FD}\cdot \dfrac{CD}{CE}, \dfrac{QD'}{QF'} = \dfrac{DE}{EF}\cdot \dfrac{BF}{BD}.$

Με πολλαπλασιασμό: $\dfrac{SE'}{DE}\cdot \dfrac{F'S}{SE'}\cdot \dfrac{RE'}{RD'} = \dfrac{AE}{AF}\cdot \dfrac{CD}{CE}\cdot \dfrac{BF}{BD} = 1,$ όπου η τελευταία ισότητα προέκυψε από Ceva στο ABC

, και από το λημμα παίρνουμε ότι οι SD', QE', RF'

συντρέχουν, έστω στο

.

Από θεώρημα Pascal στο DSD'FRF'

, τα

είναι συνευθειακά. Από το RFE'QEF'

, τα

είναι συνευθειακά, οπότε τα X, Y, P

είναι συνευθειακά.

Άλλη μία με συγγραμμικά σημεία

Άλλη μία με συγγραμμικά σημεία

Re: Άλλη μία με συγγραμμικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση