Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 2η)

[Al.Koutsouridis]

XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη.

1. Αρχικά στον πίνακα είναι γραμμένοι άσσοι. Η Μαρία και η Ελένη παίζουν ένα παιχνίδι, κάνοντας κινήσεις με την σειρά. Με την δική της κίνηση η Μαρία υψώνει κάποιους αριθμούς του πίνακα στο τετράγωνο. Με την δική της κίνηση η Ελένη διαλέγει μερικούς αριθμούς (πιθανόν, κανένα) του πίνακα και αυξάνει τον καθένα τους κατά . Αν κατά την διάρκεια κινήσεων στον πίνακα εμφανιστεί αριθμός, που διαιρείτε με τον , τότε κερδίζει η Ελένη, αλλιώς κερδίζει η Μαρία. Ποια από τις παίχτριες έχει στρατηγική νίκης, αν πρώτα παίζει η Μαρία; (Γκ. Νικίτιν)

2. Το επίπεδο τέμνει τις ακμές , , και του τετράεδρου στα σημεία και αντίστοιχα. Προέκυψε, ότι τα σημεία και βρίσκονται στον κύκλο , που έχει ως διάμετρο το τμήμα . Το σημείο του επιπέδου είναι τέτοιο, ώστε οι ευθείες και να εφάπτονται του κύκλου . Να αποδείξετε, ότι τα μέσα των ακμών και το σημείο είναι συνεπίπεδα. (Α. Κουζνέτσοβ)

3. Θα ονομάσουμε ένα πολυώνυμο διακέραιο, αν οι αριθμοί και είναι ακέραιοι για οποιονδήποτε ακέραιο . Έστω διακέραιο πολυώνυμο βαθμού και έστω το γινόμενο όλων των σύνθετων αριθμών που δεν υπερβαίνουν το (το γινόμενο κενού συνόλου παραγόντων θεωρούμε ότι είναι ίσο με ). Να αποδείξετε ότι ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του πολυώνυμου είναι ακέραιος. (Ι. Μπογκντάνοβ, Γκ. Τσελνόκοβ)

4. Σε μια χώρα υπάρχουν πόλεις. Σε αυτήν λειτουργούν μονόδρομοι (κατεύθυνση προς μια πλευρά): από ένας δρόμος από την πόλη στην για κάθε διατεταγμένο ζεύγος πόλεων . Κάθε δρόμος έχει το κόστος λειτουργίας του. Για ένα δοθέν εξετάζουμε όλους τους τρόπους επιλογής πόλεων και δρόμων έτσι, ώστε από κάθε πόλη να μπορούμε να μεταβούμε σε κάποια επιλεχθείσα πόλη, χρησιμοποιώντας μόνο τους επιλεχθέντες δρόμους. Ένα τέτοιο σύστημα πόλεων και δρόμων με το ελάχιστο άθροισμα κόστους λειτουργίας θα το ονομάσουμε βέλτιστο. Να αποδείξετε, ότι τις πόλεις μπορούμε να τις αριθμήσουμε από το έως το έτσι, ώστε για κάθε να υπάρχει βέλτιστο σύστημα δρόμων με επιλεχθείσες πόλεις . (Β. Μπούσλοβ)

[Ορέστης Λιγνός]

1. Αρχικά στον πίνακα είναι γραμμένοι άσσοι. Η Μαρία και η Ελένη παίζουν ένα παιχνίδι, κάνοντας κινήσεις με την σειρά. Με την δική της κίνηση η Μαρία υψώνει κάποιους αριθμούς του πίνακα στο τετράγωνο. Με την δική της κίνηση η Ελένη διαλέγει μερικούς αριθμούς (πιθανόν, κανένα) του πίνακα και αυξάνει τον καθένα τους κατά . Αν κατά την διάρκεια κινήσεων στον πίνακα εμφανιστεί αριθμός, που διαιρείτε με τον , τότε κερδίζει η Ελένη, αλλιώς κερδίζει η Μαρία. Ποια από τις παίχτριες έχει στρατηγική νίκης, αν πρώτα παίζει η Μαρία; (Γκ. Νικίτιν)

Στρατηγική νίκης έχει η Μαρία.

Πράγματι, θα αποδείξουμε ότι μπορεί να εγγυηθεί πως κανένας αριθμός του πίνακα δεν θα γίνει ποτέ πολλαπλάσιο του . Αυτό είναι αρκετό, επειδή . Η στρατηγική της Μαρίας είναι απλώς να επιλέγει εναλλάξ τους πρώτους και τους τελευταίους αριθμούς του πίνακα.

Αν μετά από κάποια κίνηση της Ελένης προκύπτει για πρώτη φορά αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του , έστω ο , τότε αυτό σημαίνει ότι ακριβώς πριν κινηθεί η Ελένη υπήρχε ο αριθμός στον πίνακα. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: Ο ανήκει στους πρώτους αριθμούς του πίνακα. Τότε, είχε επιλεχθεί ακριβώς στην προηγούμενη κίνηση της Μαρίας, άρα πρέπει ή , που είναι άτοπο.

Περίπτωση 2: Ο ανήκει στους τελευταίους αριθμούς του πίνακα. Τότε, είχε επιλεχθεί στην προπροηγούμενη κίνηση της Μαρίας, και ακολούθως είτε προστέθηκε σε αυτόν, είτε όχι. Σε κάθε περίπτωση, ή , που είναι άτοπο.

Συνεπώς, η στρατηγική δουλεύει, και άρα κερδίζει η Μαρία.